Найдем предел: $$ \lim_{x \to 0}\frac{2\sin(3x)-6x}{x^3} $$
Решение:
1. Найдем предел функции при \( x \to 0 \) $$ \lim_{x \to 0}\frac{2\sin(3x)-6x}{x^3} = \frac{2\sin(3*0)-6*0}{0^3} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0} \). Применяем правило Лопиталя.
2. Правило Лопиталя.
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 0}\frac{2\sin(3x)-6x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{(2\sin(3x)-6x)'}{(x^3)'} = $$ применяем формулы производной синуса, сложной функции, степенной функций в числителе и в знаменателе дроби отдельно $$ = \lim_{x \to 0}\frac{6\cos(3x)-6}{3x^2} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\) Повторно применяем правило Лопиталя $$ = \lim_{x \to 0}\frac{(2\cos(3x)-6)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0}\frac{-6\sin(3x)}{2x} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\) Третий раз применяем правило Лопиталя $$ = -\lim_{x \to 0}\frac{(3\sin(3x))'}{(x)'} = -\lim_{x \to 0}\frac{9\cos(3x)}{1} = -9$$
4. Ответ: \( \lim_{x \to 0}\frac{2\sin(3x)-6x}{x^3} = -9 \)
