Найдем предел: $$ \lim_{x \to -4}(9+2x)^\frac{6}{x+4} $$
Решение:
Найдем предел функции $$ \lim_{x \to -4}(9+2x)^\frac{6}{x+4} = (9-8)^\frac{6}{-4+4} = 1^\frac{6}{0} = 1^\infty$$ получили неопределенность вида \(1^\infty\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя и приведения к форме второго замечательного предела . Рассмотрим второй метод.
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
$$ \lim_{x \to -4}(9+2x)^\frac{6}{x+4} = \lim_{x \to -4}(1 +(8+2x))^\frac{6}{x+4} =$$ Получили \(f(x) = 8+2x\), теперь в степени мы должны получить дробь вида \( \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{8+2x}\), т.е. \( \frac{6}{x+4} = \frac{12}{2x+8}\). Подставляем $$ = \lim_{x \to -4}(1 +(8+2x))^\frac{12}{2x+8} = \lim_{x \to -4}((1 +(8+2x))^\frac{1}{2x+8})^{12} =$$Получили второй замечательный предел \( \lim_{x \to -4}((1 +(8+2x))^\frac{1}{2x+8}) = e \), т.е. получаем $$ = e^{12}$$
Ответ: \( \lim_{x \to -4}(9+2x)^\frac{6}{x+4} = e^{12} \)
