Решение: если тело получено путем вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой \(y = f(x)\) (при этом \(f(x) \geq 0 \)), осью абсцисс и прямыми \(x = a \) и \(x = b\) вокруг оси \(Ox\), объем рассчитывается по формуле $$V_x = \pi \int_a^by^2dx \quad (1)$$
В задании фигура ограничена функцией $$ x^2 +y^2 = 16 => y = \sqrt{16-x^2} \quad a = 1; \quad b=3 $$Подставляем данные в формулу (1), получаем $$V_x = \pi \int_1^3(\sqrt{16-x^2} )^2dx = \pi \int_1^3(16-x^2)dx = $$$$ = \pi (16x-\frac{x^3}{3})|_1^3$$ применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \pi (16*3-\frac{3^3}{3} - 16 + \frac{1}{3} ) = \frac{70}{3}\pi$$
Ответ: объем тела, полученное путем вращения криволинейной трапеции равен \( V_x = \frac{70}{3}\pi\)
