Решение: если тело получено путем вращением около полярной оси P криволинейного сектора, ограниченного кривой \rho = \rho(\phi) и лучами \phi = \alpha, \quad \phi = \beta, (0 \leq \alpha < \beta \leq \pi), то объем тела рассчитывается по формуле V_{\rho} = \frac{2\pi}{3}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^3\sin( \phi)d \phi
Подставляем формулу
\rho=2(1+cos\phi) и рассчитаем объем
V_{\rho} = \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi}(2(1+cos\phi))^3\sin(\phi)d\phi =
= -\frac{2\pi}{3}8\int_{0}^{\pi}(1+cos\phi)^3d(1+cos\phi) =
применяем табличный интеграл от степенной функции
\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C, получаем
= -\frac{2\pi}{3}8[ \frac{1}{4}(1+cos\phi)^4]|_{0}^{\pi} = -\frac{2\pi}{3}8\frac{1}{4}[ (1-1)^4 - (1+1)^4]=>
V_{\rho} = \frac{64\pi}{3}
Ответ: объем тела вращения равен
V_{\rho} = \frac{64\pi}{3}