Решение: если тело получено путем вращением около полярной оси \(P\) криволинейного сектора, ограниченного кривой \( \rho = \rho(\phi)\) и лучами \(\phi = \alpha, \quad \phi = \beta\), \((0 \leq \alpha < \beta \leq \pi)\), то объем тела рассчитывается по формуле $$V_{\rho} = \frac{2\pi}{3}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^3\sin( \phi)d \phi $$
Подставляем формулу \(\rho=2(1+cos\phi)\) и рассчитаем объем $$V_{\rho} = \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi}(2(1+cos\phi))^3\sin(\phi)d\phi =$$$$ = -\frac{2\pi}{3}8\int_{0}^{\pi}(1+cos\phi)^3d(1+cos\phi) =$$ применяем табличный интеграл от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = -\frac{2\pi}{3}8[ \frac{1}{4}(1+cos\phi)^4]|_{0}^{\pi} = -\frac{2\pi}{3}8\frac{1}{4}[ (1-1)^4 - (1+1)^4]=> $$$$ V_{\rho} = \frac{64\pi}{3}$$
Ответ: объем тела вращения равен \(V_{\rho} = \frac{64\pi}{3}\)
