Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг своей оси: \rho=2(1+\cos(\phi))


0 Голосов
Оводкова Ален
Posted Май 5, 2014 by Оводкова Алена Александровна
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 1762

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг своей оси: \rho=2(1+\cos(\phi))

полярная ось

Теги: вычислить объем фигуры вращения, вычислить объем тела

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 5, 2014 by Вячеслав Моргун

Решение: если тело получено путем вращением около полярной оси  P криволинейного сектора, ограниченного кривой \rho = \rho(\phi) и лучами \phi = \alpha, \quad  \phi = \beta, (0 \leq \alpha < \beta \leq \pi), то объем тела рассчитывается по формуле V_{\rho} = \frac{2\pi}{3}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^3\sin( \phi)d \phi 


Подставляем формулу \rho=2(1+cos\phi) и рассчитаем объем V_{\rho} = \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi}(2(1+cos\phi))^3\sin(\phi)d\phi =
 = -\frac{2\pi}{3}8\int_{0}^{\pi}(1+cos\phi)^3d(1+cos\phi) =
применяем табличный интеграл от степенной функции \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C, получаем = -\frac{2\pi}{3}8[ \frac{1}{4}(1+cos\phi)^4]|_{0}^{\pi} = -\frac{2\pi}{3}8\frac{1}{4}[ (1-1)^4 - (1+1)^4]=>
 V_{\rho} = \frac{64\pi}{3}

Ответ: объем тела вращения равен V_{\rho} = \frac{64\pi}{3}