Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг своей оси: $$\rho=2(1+\cos(\phi))$$

Решение: если тело получено путем вращением около полярной оси  $P$ криволинейного сектора, ограниченного кривой $\rho = \rho(\phi)$ и лучами $\phi = \alpha, \quad  \phi = \beta$, $(0 \leq \alpha < \beta \leq \pi)$, то объем тела рассчитывается по формуле

$$V_{\rho} = \frac{2\pi}{3}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^3\sin( \phi)d \phi$$
Подставляем формулу $\rho=2(1+cos\phi)$ и рассчитаем объем $$V_{\rho} = \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi}(2(1+cos\phi))^3\sin(\phi)d\phi =$$ $$= -\frac{2\pi}{3}8\int_{0}^{\pi}(1+cos\phi)^3d(1+cos\phi) =$$ применяем табличный интеграл от степенной функции $\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C$, получаем $$= -\frac{2\pi}{3}8[ \frac{1}{4}(1+cos\phi)^4]|_{0}^{\pi} = -\frac{2\pi}{3}8\frac{1}{4}[ (1-1)^4 - (1+1)^4]=>$$ $$V_{\rho} = \frac{64\pi}{3}$$
Ответ: объем тела вращения равен $V_{\rho} = \frac{64\pi}{3}$