Применим формулу $$ \int \frac{P_n(x)}{y}dx = Q_{n-1}(x)y + \lambda \int \frac{dx}{y} $$ В нашем примере \( P_n(t) =t^3-t^2+t-1 \), \( y = \sqrt{t^2+5t+3} \), подставим и получим $$\int \frac{t^3-t^2+t-1}{\sqrt{t^2+5t+3}} dt = (At^2+Bt+C)\sqrt{t^2+5t+3} + \lambda \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+5t+3}} = \, (1) $$ дифференцируя это тождество и приводя к общему знаменателю, получим $$\frac{t^3-t^2+t-1}{\sqrt{t^2+5t+3}} = (2At+B)\sqrt{t^2+5t+3} + (At^2+Bt+C) *\frac{1}{2} \frac{2t + 5}{\sqrt{t^2+5t+3}} + \lambda \frac{1}{\sqrt{t^2+5t+3}} =$$$$=\frac{2*(2At+B)(t^2+5t+3) + (At^2+Bt+C) (2t + 5) + 2*\lambda } {2*\sqrt{t^2+5t+3}} =>$$$$\frac{2*(t^3-t^2+t-1)}{2\sqrt{t^2+5t+3}} = \frac{2*(2At+B)(t^2+5t+3) + (At^2+Bt+C) (2t + 5) + 2*\lambda } {2*\sqrt{t^2+5t+3}} $$приравняем многочлены числителей $$2t^3-2t^2+2t-2 = 2*(2At+B)(t^2+5t+3) + (At^2+Bt+C) (2t + 5) + 2*\lambda$$$$\left[\begin{gathered}t^3 | 2 = 4A + 2A \\ t^2 |-2 = 2B + 20A + 5A + 2B\\ t^1 | 2 = 12A + 10B + 5B + 2C\\ t^0 | -2 = 6B + 5C + 2 \lambda \end{gathered} \right.=>\left[\begin{gathered}t^3 | A = \frac{1}{3} \\ t^2 | B = -\frac{31}{12} \\ t^1 | C = \frac{147}{8}\\ t^0 | \lambda = -\frac{627}{16} \end{gathered} \right.$$подставим полученные коэффициенты в \( (1) \) $$\int \frac{t^3-t^2+t-1}{\sqrt{t^2+5t+3}} dt = (\frac{1}{3}t^2-\frac{31}{12}t+\frac{147}{8}) \sqrt{t^2+5t+3} - \frac{627}{16} \int \frac{dt}{\sqrt{(t + \frac{5}{2})^2 -(\frac{25}{4}-3)}} =$$$$= \frac{1}{24}(8t^2 - 62t + 441) \sqrt{t^2+5t+3} - \frac{627}{16} ln | x+ \frac{5}{2} + \sqrt{t^2+5t+3}| =$$$$= \frac{1}{24}(8t^2 - 62t + 441) \sqrt{t^2+5t+3} - \frac{627}{16} ln | 2x+ 5 +2 \sqrt{t^2+5t+3}| - \ln 2 $$Ответ: \( \int \frac{t^3-t^2+t-1}{\sqrt{t^2+5t+3}} dt = \frac{1}{24}(8t^2 - 62t + 441) \sqrt{t^2+5t+3} - \frac{627}{16} ln | 2x+ 5 +2 \sqrt{t^2+5t+3}| + С \)
