Решение: найдем площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическим уравнением. В задании уравнение эллипса с центром в начале координат. Т.к. эллипс симметричен относительно всех осей, будем искать его площадь в первой четверти т.е. \( t \in [0; \frac{\pi}{2}]; t_1 = 0; \quad t_2 = \frac{ \pi}{2}\quad \quad 0 \leq t \leq \frac{ \pi}{2}\). Если при движении вдоль границы от \(t_1 \to t_2\) область \(D\) остается слева, то ее площадь может быть рассчитана по формуле $$S = \int_{t_1}^{t_2}x(t)y'(t)dt$$
Рассчитываем площадь. Т.к. \(y'(t) = 3\cos(t)\), получаем $$S = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}3\cos(t)2\cos(t)dt = 24\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(t)dt = $$ применяем формулу косинуса двойного угла \(\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}\) для понижения степени под знаком интеграла, получаем $$ = 24\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{ 1 + \cos(2t)}{2}dt = 12(t + \frac{1}{2}\sin(2t))|_0^{\frac{\pi}{2}} = 12 \frac{\pi}{2} = 6 \pi$$
Ответ: площадь фигуры равна \(S = 6\pi\)
