Найдем интеграл: \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx
Решение: найдем интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки ctg(x) = t, тогда dx =- \frac{1}{1+t^2}dt и пересчитаем границы интегрирования:
верхняя граница x = \frac{\pi}{2} => t = ctg( \frac{\pi}{2}) = 0
нижняя граница x = \frac{\pi}{6} => t = ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} , получаем
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx = -\int_{\sqrt{3}}^{0} t^3 \frac{1}{1+t^2}dt =
выделим целую часть в числителе подынтегрального выражения и поменяем местами границы интегрирования
\int_a^bf(x)dx = -\int_b^af(x)dx = \int_{0}^{\sqrt{3}}t\frac{t^2 + 1 - 1}{1+t^2}dt = \int_{0}^{\sqrt{3}}(t - \frac{t}{1+t^2})dt =
применим формулу Ньютона-Лейбница
\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) , получим
= \frac{1}{2}t^2 - \ln(\sqrt{1 + t^2})|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}(\sqrt{3})^2 - \ln(2) =
= \frac{3}{2} - \ln(2)
Ответ:
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx = \frac{3}{2} - \ln(2)