Вычислите определенный интеграл: $$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3xdx$$

Найдем интеграл: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx$
Решение: найдем интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки $ctg(x) = t$, тогда $dx =- \frac{1}{1+t^2}dt$ и пересчитаем границы интегрирования:
верхняя граница $x = \frac{\pi}{2} => t = ctg( \frac{\pi}{2}) = 0$
нижняя граница $x = \frac{\pi}{6} => t = ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, получаем

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx = -\int_{\sqrt{3}}^{0} t^3 \frac{1}{1+t^2}dt =$$ выделим целую часть в числителе подынтегрального выражения и поменяем местами границы интегрирования $\int_a^bf(x)dx = -\int_b^af(x)dx$ $$= \int_{0}^{\sqrt{3}}t\frac{t^2 + 1 - 1}{1+t^2}dt  = \int_{0}^{\sqrt{3}}(t - \frac{t}{1+t^2})dt  =$$ применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$, получим $$= \frac{1}{2}t^2 - \ln(\sqrt{1 + t^2})|_{0}^{\sqrt{3}} =  \frac{1}{2}(\sqrt{3})^2 - \ln(2) =$$ $$= \frac{3}{2} - \ln(2)$$
Ответ: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx =  \frac{3}{2} - \ln(2)$