Loading Web-Font TeX/Size2/Regular
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислите определенный интеграл: \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3xdx


0 Голосов
Оводкова Ален
Posted Май 5, 2014 by Оводкова Алена Александровна
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 1247

Вычислите определенный интеграл: \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3xdx

Теги: определенный интеграл, вычислить определенный интеграл, формула Ньютона - Лейбница

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 5, 2014 by Вячеслав Моргун

Найдем интеграл: \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx
Решение: найдем интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки ctg(x) = t, тогда dx =- \frac{1}{1+t^2}dt и пересчитаем границы интегрирования:
верхняя граница x = \frac{\pi}{2} => t = ctg( \frac{\pi}{2}) = 0
нижняя граница x = \frac{\pi}{6} => t = ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} , получаем
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx = -\int_{\sqrt{3}}^{0} t^3 \frac{1}{1+t^2}dt =

выделим целую часть в числителе подынтегрального выражения и поменяем местами границы интегрирования \int_a^bf(x)dx = -\int_b^af(x)dx = \int_{0}^{\sqrt{3}}t\frac{t^2 + 1 - 1}{1+t^2}dt  = \int_{0}^{\sqrt{3}}(t - \frac{t}{1+t^2})dt  =
применим формулу Ньютона-Лейбница \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) , получим = \frac{1}{2}t^2 - \ln(\sqrt{1 + t^2})|_{0}^{\sqrt{3}} =  \frac{1}{2}(\sqrt{3})^2 - \ln(2) =
= \frac{3}{2} - \ln(2)

Ответ:   \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} ctg^3(x)dx =  \frac{3}{2} - \ln(2)