Найдем интеграл: \( \int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^4+x^2}\)
Решение: проведем преобразования интеграла, представим его в виде суммы двух интегралов $$\int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^4+x^2} = \int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2(x^2+1)} = $$$$ = \int_{1}^{\sqrt{3}}[\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2+1}]dx = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2}dx - \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1}dx = \quad (1) $$
1. найдем интеграл \(\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2}dx\) применим формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\) и формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ \int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2}dx = - \frac{1}{x}|_{1}^{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} +1$$
2. найдем интегралл \( \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1}dx \) применим формулу табличного интеграла функции арктангенса \( \int \frac{1}{1+x^2}dx = arctg(x)\) и формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1}dx = arctg(x)|_{1}^{\sqrt{3}} = arctg(\sqrt{3}) - arctg(1) =$$$$ = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$$
3. подставляем решения в (1)
$$ = -\frac{1}{\sqrt{3}} +1 - \frac{\pi}{12} = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{12}$$
Ответ: \( \int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^4+x^2} = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{12}\)
