Найдем интеграл: \( \int_{\frac{3}{2}}^2arctg(2x-3)dx\)
Решение:
1. найдем первообразную неопределенного интеграла \( \int arctg(2x-3)dx \)
для нахождения интеграла применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\). Введем обозначения \(dv = dx => v = x\), \(u = arctg(2x-3) => du = \frac{2}{1 + (2x-3)^2}dx\). Найдем неопределенный интеграл $$ \int arctg(2x-3)dx = x*arctg(2x-3) - \int \frac{2x}{1 + (2x-3)^2}dx = \quad (1)$$
Найдем интеграл \( \int \frac{2x}{1 + (2x-3)^2}dx =\) методом замены независимой переменной. Введем замену \(2x-3 = u => dx = \frac{du}{2}; \quad x = \frac{u+3}{2}\), подставляем \( = \int \frac{2\frac{u+3}{2}}{1 + u^2}\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{u+3}{1 + u^2}du = \) \( = \frac{1}{2}[\int \frac{u}{1 + u^2}du + \int \frac{3}{1 + u^2}du] = \frac{1}{4} \ln(1+u^2) + \frac{3}{2} arctg(u)\) применяем обратную замену \(u =2x-3\), получаем \( = \frac{1}{4} \ln(1+(2x-3)^2) + \frac{3}{2} arctg(2x-3) \)
2. подставляем в (1)
$$ = x*arctg(2x-3) - \frac{1}{4} \ln(1+(2x-3)^2) - \frac{3}{2} arctg(2x-3)$$
3. применяем формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \)
$$\int_{\frac{3}{2}}^2arctg(2x-3)dx = x*arctg(2x-3) - \frac{1}{4} \ln(1+(2x-3)^2) - \frac{3}{2} arctg(2x-3)|_{\frac{3}{2}}^2 = \frac{\pi}{8} - \frac{ \ln(2)}{4}$$
Ответ: \( \int_{\frac{3}{2}}^2arctg(2x-3)dx = \frac{\pi}{8} - \frac{ \ln(2)}{4}\)
