Найдем интеграл: \( \int_{0}^{1}3(x^2+x^2e^{x^{3}})dx \)
Решение: проведем преобразования, применим формул интеграла суммы \( \int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx\) $$\int_{0}^{1}3(x^2+x^2e^{x^{3}})dx = 3[\int_{0}^{1}x^2dx + \int_{0}^{1}x^2e^{x^{3}}dx] = \quad (1)$$ найдем интегралы отдельно
1. найдем интеграл \(\int_{0}^{1}x^2dx\) применим формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\) и формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$\int_{0}^{1}x^2dx = \frac{1}{3}x^3|_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1^3-0^3) = \frac{1}{3}$$
2. найдем интегралл \(\int_{0}^{1}x^2e^{x^{3}}dx\) применим метод замены независимой переменной. Введем замену \(x^3 =t => 3x^2dx = dt => x^2dx = \frac{1}{3}dt\), пересчитаем границы интеграла для новой переменной;
нижняя граница \(x=0 => t = 0 \)
верхняя граница \(x=1 => t = 1 \)
Подставляем в интеграл $$\int_{0}^{1}x^2e^{x^{3}}dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}e^{t}dt = \frac{1}{3}e^t|_{0}^{1} = \frac{1}{3}(e-1)$$
3. подставляем решения в (1)
$$ = 3[\frac{1}{3} +\frac{1}{3}(e-1) ] = 1+e-1=e$$
Ответ: \(\int_{0}^{1}3(x^2+x^2e^{x^{3}})dx = e\)
