Решение: введем обозначения
обозначим через \(A\) событие, состоящее в том, что случайно выбранная деталь стандартная;
обозначим через \(H_1; H_2\) - события, состоящее в том, что деталь произведена соответственно на первом и втором заводах. Найдем вероятности этих событий. Для этого применим формулу классического определения вероятности \(P = \frac{m}{n}\), где \(n = 4+3=7\) - общее количество равновозможных событий, а \(m\) - количество благоприятных событий, тогда \(P(H_1) = \frac{4}{7}\), а \(P(H_2) = \frac{3}{7}\).
Из условия задачи следует, что \(P(\frac{A}{H_1}) = 0.9\), а \(P(\frac{A}{H_2}) = 0.95\)
Для нахождения вероятности события \(A\) применим формулу полной вероятности $$P(A) = P(H_1)P(\frac{A}{H_1}) + P(H_2)P(\frac{A}{H_2})$$ подставляем полученные данные $$P(A) = \frac{4}{7}*0.9 + \frac{3}{7}*0.95 \approx 0.92 $$
Осталось найти вероятность \(P(\frac{H_1}{A})\) того, что выбранная стандартная деталь изготовлена на втором заводе. Для этого используем формулу Бейеса $$P(\frac{H_i}{A}) = \frac{P(H_i)*P(\frac{A}{H_i})}{P(A)}$$подставляем полученные данные в формулу $$P(\frac{H_2}{A}) = \frac{P(H_2)*P(\frac{A}{H_2})}{P(A)} = \frac{ \frac{3}{7}*0.95}{ \frac{4}{7}*0.9 + \frac{3}{7}*0.95} \approx 0.44$$
Ответ: вероятность того, что стандартная деталь произведена на втором заводе равна \(P(\frac{H_2}{A}) \approx 0.44 \)
