Решение: введем обозначение:
событие \(A_1\) - студент ответил на первый вопрос
событие \(A_2\) - студент ответил на второй вопрос
событие \(A_3\) - студент ответил на третий вопрос
1. найдем вероятность того, что студент ответил на все вопросы, т.е. ищем вероятность события \(B_0\) студент ответил на все вопросы \( A_1A_2A_3\). Поскольку события \(A_1;A_2;A_3\) независимы, то воспользуемся формулой вероятности произведения независимых событий $$P(A_1A_2A_3) = p(A_1)*p(A_2)*p(A_3)$$ получим $$P(A_1A_2A_3) = 0.75*0.75*0.8 = 0.45$$
2. нейдем вероятность того, что студент ответил хотябы на два вопроса, т.е. он ответил на два или более вопросов. Рассмотрим события, удовлетворяющие вопросу:
обозначим событие \(B_1\) как \(\overline{A_1}A_2A_3\) студент ответил на второй и третий вопросы, а на первый нет
обозначим событие \(B_2\) как \(A_1\overline{A_2}A_3\) студент ответил на первый и третий вопросы, а на второй нет
обозначим событие \(B_3\) как \(A_1A_2\overline{A_3}\) студент ответил на первый и второй вопросы, а на третий нет
обозначим событие \(B_0\) как \(A_1A_2A_3\) студент ответил на все вопросы
Найдем вероятности событий \(\overline{A_1}, \quad \overline{A_2}, \quad \overline{A_3}\)
\(P(\overline{A_1}) = 1-0.75=0.25\)
\(P(\overline{A_2}) = 1-0.75=0.25\)
\(P(\overline{A_3}) = 1-0.8=0.2\)
Найдем вероятности событий \(B_1;B_2;B_3\), поскольку события \(A_1;A_2;A_3\) независимы, то воспользуемся формулой вероятности произведения независимых событий
\(P(B_1) = P(\overline{A_1}A_2A_3) = p(\overline{A_1})*p(A_2)*p(A_3) = 0.25*0.75*0.8 = 0.15 \)
\(P(B_2) = P(A_1\overline{A_2}A_3) = p(A_1)*p(\overline{A_2})*p(A_3) = 0.75*0.25*0.8 = 0.15 \)
\(P(B_3) = P(A_1A_2\overline{A_3}) = p(A_1)*p(A_2)*p(\overline{A_3}) = 0.75*0.75*0.2 = 0.1125 \)
\(P(B_0) = P(A_1A_2A_3) = p(A_1)*p(A_2)*p(A_3) = 0.75*0.75*0.8 = 0.45 \)
Найдем вероятность того, что студент ответил хотя бы на два вопроса по формуле суммы несовместных событий $$P(B_0+B_1+B_2+B_3) = p(B_0) + p(B_1) + p(B_2) + p(B_3) = $$$$ =0.45+0.15+0.15+0.1125 = 0.8625$$
3. найдем вероятность того, что студент не ответит ни на один вопрос
обозначим событие \(\overline{B_0} = \overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}\), поскольку события \(A_1;A_2;A_3\) независимы, то воспользуемся формулой вероятности произведения независимых событий $$P(\overline{B_0}) = P(\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}) = p(\overline{A_1})*p(\overline{A_2})*p(\overline{A_3}) = 0.25*0.25*0.2 = 0.0125$$
