Найдем интеграл: \( \int \frac{\cos^4(x)+\sin^4(x)}{\cos^2(x)-\sin^2(x)}dx \)
Решение: данный интеграл будем решать методом понижения степени тригонометрической функции с применением формул двойного угла \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}; \quad \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}; \quad \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\), получаем $$\int \frac{\cos^4(x)+\sin^4(x)}{\cos^2(x)-\sin^2(x)}dx = \int \frac{\frac{(1 + \cos(2x)}{2})^2+(\frac{1 - \cos(2x)}{2})^2}{\cos^2(x)-\sin^2(x)}dx = $$$$ = \int \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)+1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4\cos(2x)}dx = \int \frac{1 + 1\cos^2(2x)}{2\cos(2x)}dx =$$$$ = \frac{1}{2}\int \frac{1}{\cos(2x)}dx + \frac{1}{2}\int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{\cos(2x)}dx + \frac{\sin(2x)}{4} + C =$$ Найдем интеграл с помощью универсальной пригонометрической подстановки \( tg(x) = t\), тогда \( \cos(2x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}; \quad dx = \frac{dt}{1+t^2}dt\), получаем $$ = \frac{1}{2}\int \frac{1}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{1}{1+t^2}dt + \frac{\sin(2x)}{4} + C = \frac{1}{2}\int \frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{1}{1+t^2}dt + \frac{\sin(2x)}{4} + C = $$$$ = \frac{1}{2}\int \frac{1}{2}(\frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t})dt + \frac{\sin(2x)}{4} + C = $$ применяем формулу табличного интеграла логарифмической функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), получаем $$ = \frac{1}{4}[-\ln(t-1) + \ln(1+t)] + \frac{\sin(2x)}{4} + C = \frac{1}{4} \ln(\frac{1+t}{t-1}) + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$ применяем обратную замену \(t = tg(x)\) $$ = \frac{1}{4} \ln(\frac{1+ tg(x)}{tg(x)-1}) + \frac{\sin(2x)}{4} + C = \frac{1}{4} \ln(\frac{\sin(x)+ \cos(x)}{\sin(x)-\cos(x)}) + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$
Ответ: \( \int \frac{\cos^4(x)+\sin^4(x)}{\cos^2(x)-\sin^2(x)}dx = \frac{1}{4} \ln(\frac{\sin(x)+ \cos(x)}{\sin(x)-\cos(x)}) + \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
