Решение:
1. Запишем уравнение поверхности в неявном виде \( F(x;y;z) = \sin(x)\cos(y) - z =0\)
2. Найдем частные производные заданной функции \( F(x;y;z)\):
$$ \frac{\partial F}{\partial x} = \cos(x)\cos(y); \quad \frac{\partial F}{\partial y} = -\sin(x)\sin(y); \quad \frac{\partial F}{\partial z} = -1$$
3. Находим значение частных производных в заданной точке \( M_{0}(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{1}{2})\)
$$[ \frac{\partial F}{\partial x}]_{M_o} = \cos(\frac{\pi}{4} )\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1}{2} \quad [\frac{\partial F}{\partial y}]_{M_o} = $$$$ = -\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{ \sqrt{2}}\frac{1}{ \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}; \quad [\frac{\partial F}{\partial z}]_{M_o} = -1$$
4. Найдем уравнение нормали.
Нормаль определяется уравнением \( \frac{x-x_0}{[ \frac{\partial F}{\partial x}]_{M_o}} = \frac{y-y_0}{[\frac{\partial F}{\partial y}]_{M_o}} = \frac{z-z_0}{[\frac{\partial F}{\partial z}]_{M_o}}\), получим $$\frac{x- \frac{ \pi}{4}}{ \frac{1}{2}} = \frac{y-\frac{\pi}{4}}{-\frac{1}{2}} = \frac{z-\frac{1}{2}}{-1} =>$$$$ \frac{x- \frac{ \pi}{4}}{1} = \frac{y-\frac{\pi}{4}}{-1} = \frac{z-\frac{1}{2}}{-2}$$
5. Найдем уравнение касательной плоскости:
Уравнение касательной плоскости в точке будем искать по формуле \(F'_x(x_0;y_0;z_0)(x-x_0) + F'_y(x_0;y_0;z_0)(y-y_0) + F'_z(x_0;y_0;z_0)(z-z_0) =0\), подставляем данные $$\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}(y-\frac{\pi}{4}) - (z-\frac{1}{2}) =0=> $$$$ x-\frac{\pi}{4} -y +\frac{\pi}{4} - 2z + 1 =0=> x - y - 2z + 1 =0$$
