Найдем интеграл: \( \int \sin^4(2x)*\cos^2(2x)dx \)
Решение: данный интеграл относится к интегралу от тригонометрической функции вида \( \int \sin^m(x)\cos^n(x)dx\), где \(m;n\) четные, действительно, где \(n = 4; m = 2\). Интегралы этого вида решаются методом понижения степени, т.е. путем применения тригонометрических формул \( \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}; \quad \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}; \quad \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\), применим формулу, получим $$\int \sin^4(2x)*\cos^2(2x)dx = \frac{1}{4}\int \sin^2(2x)*\sin^2(4x)dx = $$$$ = \frac{1}{8}\int (1-\cos(4x))*\sin^2(4x)dx = $$$$ = \frac{1}{8}[\int \sin^2(4x)dx- \int \cos(4x)\sin^2(4x)dx] = $$$$ = \frac{1}{8}[\int \frac{1 - \cos(8x)}{2}dx- \int \cos(4x)\sin^2(4x)dx] = \quad (1)$$
Найдем интегралы отдельно:
1. найдем интеграл \( \int \frac{1 - \cos(8x)}{2}dx = \frac{1}{2}\int dx - \int \frac{\cos(8x)}{2}dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(8x)}{16} + C\)
2. найдем интеграл \( \int \sin^2(4x)\cos(4x)dx\), степени \(n = 1; m = 2\). Степень \(n=1\) - нечетная, интегралы данного типа решаются методом замены переменной \(t = \sin(4x) => dt = 4\cos(4x)dx => \frac{1}{4}dt = \cos(4x)dx\), подставляем $$ \int \sin^2(4x)\cos(4x)dx = $$$$ = \frac{1}{4} \int t^2dt = \frac{1}{4}\frac{1}{2+1}t^{2+1} +C = \frac{t^3}{12} +C= $$ применяем обратную замену \( t = \sin(4x) \) $$ = \frac{\sin^3(4x)}{12} +C$$
3. подставляем в (1)
$$ = \frac{1}{8}[\frac{x}{2} - \frac{\sin(8x)}{16} - \frac{\sin^3(4x)}{12}] + C $$
Ответ: \( \int \sin^4(2x)*\cos^2(2x)dx = \frac{1}{8}[\frac{x}{2} - \frac{\sin(8x)}{16} - \frac{\sin^3(4x)}{12}] + C \)
