Приведем данный интеграл к табличному \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} \), для этого введем замену \( \ln t = x => \frac{dt}{t} = dx \), подставим $$\int \frac{\ln t +2}{t*\sqrt{1 - \ln t - ln^2 t}}dt = \int \frac{x +2}{\sqrt{1 - x - x^2 }}dx \, \, (1) $$В знаменателе выделим полный квадрат $$1 - x - x^2 = 1 - (x^2 + 2*\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 1 - (x + \frac{1}{2})^2 +\frac{1}{4} = \frac{5}{4} - (x + \frac{1}{2})^2$$полученное выражение подставим в \((1)\) $$\int \frac{x +2}{\sqrt{\frac{5}{4} - (x + \frac{1}{2})^2 }}dx = \int \frac{x +2}{\sqrt{\frac{5}{4} - (x + \frac{1}{2})^2 }}dx = \,\, (2) $$введем замену \( x + \frac{1}{2} = y => x = y - \frac{1}{2}, dx = dy\), подставим в \( (2)\)$$= \int \frac{y + \frac{3}{2}}{ \sqrt{ \frac{5}{4} - y^2}} dy = \int \frac{y }{ \sqrt{ \frac{5}{4} - y^2 }} dy + \frac{3}{2} \int \frac{1}{ \sqrt{ \frac{5}{4} - y^2}} dy = $$$$ = \int \frac{y }{ \sqrt{ \frac{5}{4} - y^2 }} dy + \frac{3}{2} \arcsin {\frac{y}{\sqrt{\frac{5}{4}}}} \,\, (3)$$найдем интеграл $$\int \frac{y }{ \sqrt{ \frac{5}{4} - y^2 }} dy = $$ введем замену \( \frac{5}{4} - y^2 = u^2 => -2ydy = 2udu => -ydy = udu\), подставим $$= - \int \frac{u }{ \sqrt{ u^2 }} du = - \int du = -u = - \sqrt{\frac{5}{4} - y^2} $$полученный результат подставим в \((3)\)$$\int \frac{y + \frac{3}{2}}{ \sqrt{ \frac{5}{4} - y^2}} dy = - \sqrt{\frac{5}{4} - y^2} + \frac{3}{2} \arcsin {\frac{y}{\sqrt{\frac{5}{4}}}} = $$произведем обратную замену \( \ln t = x = y -\frac{1}{2}\) получим $$= - \sqrt{\frac{5}{4} - (\ln t + \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{2} \arcsin {\frac{\ln t +\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}}} = - \sqrt{1 - \ln t -\ln^2 t} + \frac{3}{2} \arcsin {\frac{2 \ln t +1}{\sqrt{5}}}$$
Ответ: \( \int \frac{\ln t +2}{t*\sqrt{1 - \ln t - ln^2 t}}dt = - \sqrt{1 - \ln t -\ln^2 t} + \frac{3}{2} \arcsin {\frac{2 \ln t +1}{\sqrt{5}}} + C\)
