Найдем интеграл: \( \int arctg(3x)dx \)
Решение: данный интеграл будем искать, применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\)
Введем обозначения \( u = arctg(3x) => du = 3\frac{1}{1 + (3x)^2}dx\) и \( dv = dx => v = \int dx = x \)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int arctg(3x)dx = x*arctg(3x) - 3\int \frac{x}{1 + (3x)^2}dx = \quad (1)$$
1. Найдем интеграл \(\int \frac{x}{1 + (3x)^2}dx \) будем решать его методом замены независимой переменной. Введем замену \( 1+ (3x)^2 = t => 18xdx = dt => xdx = \frac{1}{18}dt \)
применяем замену \( \int \frac{x}{1 + (3x)^2}dx = \int \frac{1}{18t}dt = \frac{1}{18}\ln(t) = \) применяем обратную замену \( t = 1+ (3x)^2 \), получаем \( = \frac{1}{18}\ln(1+ (3x)^2)\)
2. Подставляем результаты в (1)
$$\int arctg(3x)dx = x*arctg(3x) - 3\frac{1}{18}\ln(1+ (3x)^2) + C =>$$$$\int arctg(3x)dx = x*arctg(3x) - \frac{1}{6}\ln(1+ (3x)^2) + C$$
Ответ: \( \int arctg(3x)dx = x*arctg(3x) - \frac{1}{6}\ln(1+ (3x)^2) + C \)
