Исследуйте заданную функцию на экстремум $$z=3x^2-x^3+3y^2+4y$$

Ищем экстремумы функции двух переменных $$z=3x^2-x^3+3y^2+4y $$
Решение:
1. находим частные производные $$z'_x = (3x^2-x^3+3y^2+4y)'_x = 6x - 3x^2 $$$$z'_y = (3x^2-x^3+3y^2+4y)'_y = 6y+4 $$
2. необходимое условие локального экстремума.
Находим стационарные точки (точки возможного экстремума) для этого составим систему уравнений $$\begin{cases} 6x - 3x^2 = 0 \\  6y+4 = 0 \end{cases} => \begin{cases} x_1 = 0; \quad x_2 =2 \\ y = -\frac{2}{3}\end{cases} $$ Получили две стационарные точки \(A(0; -\frac{2}{3})\) и \( B(2;  -\frac{2}{3})\)
3. для проверки достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные:
$$a_{11} = z''_{x^2} = (6x - 3x^2)'_x = 6 - 6x$$
$$a_{12} = z''_{xy} =(6x - 3x^2)'_y = 0$$
$$a_{22} = z''_{y^2} = (6y+4)'_y = 6$$
4. находим определитель $$Δ_{xy} = \left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - a_{12}^2$$ подставляем значения коэффициентов $$ Δ_{xy} = (6 - 6x)*6 - 0 = 36(1 - x) $$
рассчитаем значение определителя для каждой точки
для точки \(A(0; -\frac{2}{3})\) получаем \(Δ_{xy} = 36(1 - x) = 36 > 0; \quad a_{11}  = 6 - 6x  =6 >  0; \quad a_{22}  = 6 > 0 \)
для точки  \( B( 2;  -\frac{2}{3})\) получаем \(Δ_{xy} = 36(1 - x) = -36  < 0 \quad a_{11}  = 6 - 6x = -6 <  0; \quad a_{22}  = 6 > 0 \)

5. анализируем каждую точку
для точки   \(A(0; -\frac{2}{3})\) рассчитываем \(Δ_{xy}  > 0 \quad a_{11} > 0; \quad a_{22} > 0 \) - получили экстремум минимум.
для точки  \( B( 2;  -\frac{2}{3})\) рассчитываем \(Δ_{xy}  < 0  \) - в этой точке экстремума нет.
определим значение функции в точках минимума
\(z_{мин}(0; -\frac{2}{3}) = 3x^2-x^3+3y^2+4y = -\frac{4}{3}\)
Ответ: функция имеет одну точку минимума  \(A(0; -\frac{2}{3})\) и имеет минимум \(z_{мин}(0; -\frac{2}{3}) =  -\frac{4}{3}\)