Приведем данный интеграл к табличному \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} , для этого в знаменателе выделим полный квадрат 5 + t - t^2 = 5 - (t^2-2*\frac{1}{2}t - \frac{1}{4} + \frac{1}{4})) = 5 - (t-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} = \frac{21}{4} - (t - \frac{1}{2})^2
полученное выражение подставим в интеграл
\int \frac{t}{\sqrt{5+t-t^2}} dt = \int \frac{t}{ \sqrt{ \frac{21}{4} - (t - \frac{1}{2})^2}} dt = \,\, (1)
введем замену
t - \frac{1}{2} = x => t = x + \frac{1}{2}, dx = dt, подставим
= \int \frac{x + \frac{1}{2}}{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx = \int \frac{x }{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx
= \int \frac{x }{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{x}{\sqrt\frac{21}{4}}} = \int \frac{x }{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2x}{\sqrt{21}}} \, \, (2)
найдем интеграл
\int \frac{x }{ \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2}} dx =
введем замену
\frac{21}{4} - x^2 = u^2 => -2xdx = 2udu => -xdx = udu, подставим
= \int \frac{-u }{ \sqrt{u^2}} du = - \int du = - u = - \sqrt {\frac{21}{4} - x^2}
подставим в (2)
= - \sqrt{ \frac{21}{4} - x^2} + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2x}{\sqrt{21}}} =>
введем обратную замену и подставим в
(1)\int \frac{t}{\sqrt{5+t-t^2}} dt = - \sqrt{ 5+t-t^2} + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2(t-\frac{1}{2})}{\sqrt{21}}} = - \sqrt{ 5+t-t^2} + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2t - 1}{\sqrt{21}}}
Ответ:
\int \frac{t}{\sqrt{5+t-t^2}} dt = - \sqrt{ 5+t-t^2} + \frac{1}{2} \arcsin {\frac{2t - 1}{\sqrt{21}}} + С