Найдем интеграл: \int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-\frac{1}{2}}dx
Решение: в задании интеграл от биномиального дифференциала вида \int x^m(a+bx^n)^pdx будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала m = 1; \quad a = 1; \quad b = 1; \quad n = \frac{2}{3}; \quad p = -\frac{1}{2}. Проверим \frac{m+1}{n} = \frac{1+1}{ \frac{2}{3}} = 3 получили целое число, т.е. имеем второй случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (вторая подстановка Чебышева) a+bx^n = t^kгде k - знаменатель дроби p, т.е. k = 2, получили замену 1+x^{ \frac{2}{3}} = t^2 => \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}dx = 2tdt => \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}dx = 3tdt; \quad x^{ \frac{2}{3}} = t^2 - 1Подставляем замену в интеграл \int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-1/2}dx = \int \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{1+x^{\frac{2}{3}}}}dx = = 3\int \frac{(t^2-1)^2}{t}tdt = 3 \int (t^2-1)^2dt = = 3\int (t^4-2t^2+1)dt = 3( \frac{1}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^3 + t) = \frac{t}{5}( 3t^4 - 10t^2 + 15) + C применяем обратную замену t = \sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}} , получаем = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3(1+x^{ \frac{2}{3}})^2 - 10(1+x^{ \frac{2}{3}}) + 15) + C= = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3+6x^{ \frac{2}{3}}+3x^{ \frac{4}{3}} - 10-10x^{ \frac{2}{3}} + 15) + C= = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3x^{ \frac{4}{3}} - 4x^{ \frac{2}{3}} + 8) + C
Ответ: \int x{(1+x^{\frac{2}{3}})}^{-\frac{1}{2}}dx = \frac{1}{5}\sqrt{1+x^{ \frac{2}{3}}}( 3x^{ \frac{4}{3}} - 4x^{ \frac{2}{3}} + 8) + C