Найти неопределенный интеграл $$\int \frac{ \ln{ \cos(x)}}{ \cos^2(x)}dx$$

Найдем интеграл: $\int \frac{ \ln{ \cos(x)}}{ \cos^2(x)}dx$
Решение: данный интеграл будем искать, применяя формулу интегрирования по частям $\int udv = uv - \int vdu$
Введем обозначения $u = \ln{ \cos(x)} => du = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = - tg(x)dx$ и $dv = \frac{1}{ \cos^2(x)}dx => v = \int \frac{1}{ \cos^2(x)}dx = tg(x)$
Подставляем в формулу интегрирования по частям

$$\int \frac{ \ln{ \cos(x)}}{ \cos^2(x)}dx = tg(x)\ln{ \cos(x)}  + \int tg(x)tg(x)dx = \quad (1)$$
найдем интеграл $$\int tg^2(x)dx = \int \frac{ \sin^2(x)}{ \cos^2(x)}dx =$$ применим формулу основного тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ $$= \int \frac{ 1 - \cos^2(x)}{ \cos^2(x)}dx = \int \frac{1}{ \cos^2(x)}dx - \int dx =$$ применяем формулу табличного интеграла тангенса $\int \frac{1 }{ \cos^2(x)}dx = tg(x) + C$, получаем $$= tg(x) - x +C$$
подставляем в (1) $$= tg(x)\ln{ \cos(x)} + tg(x) - x +C$$
Ответ: $\int \frac{ \ln{ \cos(x)}}{ \cos^2(x)}dx =  tg(x)\ln{ \cos(x)} + tg(x) - x +C$