Найдем интеграл: \( \int x*arctg(x)dx \)
Решение: данный интеграл будем искать, применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\)
Введем обозначения \( u = arctg(x) => du = \frac{1}{1+x^2}dx\) и \( dv = xdx => v = \int xdx = \frac{1}{2}x^2 \)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int x*arctg(x)dx = $$$$ =\frac{1}{2}x^2*arctg(x) - \int \frac{1}{2}x^2\frac{1}{1+x^2}dx = \quad (1)$$
найдем интеграл $$ \int \frac{1}{2}x^2\frac{1}{1+x^2}dx = $$ выделим целую часть в дроби подынтегрального выражения $$ = \frac{1}{2}\int \frac{x^2 +1 -1 }{1+x^2}dx = \frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{2}\int \frac{1 }{1+x^2}dx = $$ применяем формулу табличного интеграла от арктангенса \( \int \frac{1 }{1+x^2}dx = arctg(x) + C\), получаем $$ = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}arctg(x) +C$$
подставляем в (1) $$ = \frac{1}{2}x^2*arctg(x) - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}arctg(x) +C = $$$$ =\frac{1}{2}[x^2*arctg(x) - x + arctg(x)] +C $$
Ответ: \( \int x*arctg(x)dx = \) \( = \frac{1}{2}[x^2*arctg(x) - x + arctg(x)] +C \)
