$$\int \sin {\ln t} dt$$будем решать это пример методом замены и интегрирования по частям. Введем замену \( x = \ln t => \left[ \begin{gathered} dx = \frac{1}{t} dt \\ t = e^x \end{gathered} \right. => \left[ \begin{gathered} e^xdx = dt \\ t = e^x \end{gathered} \right. \) Подставляем замену в интеграл $$\int \sin x * e^x dx$$проинтегрируем по частям по формуле $$\int u*dv = u*v - \int v*du$$в данном случае не имеет значение какую функцию обозначать за \( u \), а какую за \( v \) так как обе функции имеют табличную интегральную форму и при дифференцировании они остаются неизменными. Обозначим, например, \( \left[ \begin{gathered} dv = e^x dx => v = e^x \\ u = \sin x => du = \cos x dx \end{gathered} \right. \), найдем интеграл $$\int \sin x * e^x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx $$применим повторно, описанный выше метод, получим $$e^x \sin x - \int e^x \cos x dx = e^x \sin x - e^x*\cos x - \int e^x*\sin x dx$$после проведенных преобразований получили следующее равенство $$\int \sin x * e^x dx = e^x \sin x - e^x*\cos x - \int e^x*\sin x dx =>$$$$2*\int \sin x * e^x dx = e^x \sin x - e^x*\cos x =>$$$$\int \sin x * e^x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x) + C$$проведем обратную подстановку $$\int \sin {\ln t} dt = \frac{1}{2}t (\sin{\ln{t}} - \cos{\ln{t}}) + C$$
