1. Найдем частную производную \( \frac{du}{dt}\), при этом учтем, что \(x=x(t),y=y(t,s) \) - функции от \(t\), а функция \(z=z(s) = const\). При нахлждении частной производной будем использовать формулу производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)g'(x))\)
$$\frac{du}{dt} = (\frac{1}{4}\cos(\frac{x+y}{z})+(\frac{1}{3})^\frac{y}{x})'_t = -\frac{1}{4}\sin(\frac{x+y}{z})*\frac{x'_t + y'_t}{z} + (\frac{1}{3})^\frac{y}{x}*\ln(\frac{1}{3})*\frac{y'_t*x - x'_ty}{x^2} = $$$$ = -\frac{1}{4}\sin(\frac{x+y}{z})*\frac{x'_t + y'_t}{z} - (\frac{1}{3})^\frac{y}{x}*\ln(3)*\frac{y'_t*x - x'_ty}{x^2} $$
2. Найдем частную производную \( \frac{du}{ds}\), при этом учтем, что\(y=y(t,s); z =z(s) \) - функция от \(s\), а функция \(x=x(t) = const\)
$$\frac{du}{ds} = (\frac{1}{4}\cos(\frac{x+y}{z})+(\frac{1}{3})^\frac{y}{x})'_s = -\frac{1}{4}\sin(\frac{x+y}{z})*\frac{y'_s*z - (x + y)z'_s}{z^2} + (\frac{1}{3})^\frac{y}{x}*\ln(\frac{1}{3})*\frac{y'_s}{x} = $$$$ = -\frac{1}{4}\sin(\frac{x+y}{z})*\frac{y'_s*z - (x + y)z'_s}{z^2} - (\frac{1}{3})^\frac{y}{x}*\ln(3)*\frac{y'_s}{x} $$
