1. Проверим, образуют ли вектора \(a,b,\)c базис трехмерного пространства.
Три вектора образуют базис, если они линейно независимые. Составим из координат определитель матрицы, согласно свойства строк (столбцов) определителя, определитель будет равен нулю, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, т.о., если определитель не равен 0, то вектора линейно независимые и образуют базис.
Решение:
Найдем определитель матрицы переходов, составленной из координат векторов a,b,c $$|A| = \left|\begin{array}{c}1 & -1 & -1\\ 2 & 1 & -2\\ 3 & 4 & 2\end{array}\right| = 1*1*2+(-1)*(-2)*3+2*4*(-1) - 3*1*(-1)-4*(-2)*1-2*(-1)*2=15$$получили, что определитель неравен 0, т.е. векторы линейно независимые и образуют базис \(R^3\).
2. Найдем координаты вектора d(5;-5;10) в этом базисе. Для этого решим линейное матричное уравнение $$Ax=b$$ методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы \((A|b)\) путем простейших преобразований приведем матрицу A к единичной.
$$(A|B) = \left(\begin{array}{c} 1 & -1 & -1\\ 2 & 1 & -2\\ 3 & 4 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5\\ -5\\ -10 \end{array}\right.\right) =$$
Выберем элемент \(a_{11} \) за ведущий, умножим первую строку на 2 и вычтем из второй строки $$= \left(\begin{array}{c} 1 & -1 & -1\\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5\\ -15\\ -10\end{array}\right.\right) =$$
умножаем первую строку на три и вычитаем из третьей$$=\left(\begin{array}{c} 1 & -1 & -1\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & 5 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5\\ -15\\ -25 \end{array}\right.\right) =$$
Выбираем элемент \(a_{22}\) за ведущий, разделим вторую строку на 3, чтобы получить \(a_{22} = 1\) $$=\left(\begin{array}{c} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & 5 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5\\ -5\\ -25 \end{array}\right.\right) =$$
умножаем вторую строку на 7 и вычитаем из третьей$$=\left(\begin{array}{c} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5\\ -5\\ 10 \end{array}\right.\right) =$$
Прямой ход метода Гаусса закончился, приступаем к обратному ходу.
Выбираем за ведущий элемент \(a_{33}\), а для того, чтобы он был равен 1, разделим строку на 5 $$=\left(\begin{array}{c} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5\\ -5\\ 2\end{array}\right.\right) =$$
Во второй строку элемент \(a_{23} = 0\), то что и нужно, т.е. с этой строкой ничего делать не будем. Сложим третью строку с первой$$=\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 7\\ -5\\ 2 \end{array}\right.\right) =$$
Сложим первую строку со второй $$=\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 2\\ -5\\ 2 \end{array}\right.\right) =$$
Получили расширенную матрицу у которой матрица \(A\) - единичная, а матрица $$b =\left( \begin{array}{c} 2\\ -5\\ 2 \end{array}\right)$$
Ответ: координаты вектора b в новом базисе \(b =\left( \begin{array}{c} 2\\ -5\\ 2 \end{array}\right)\)
