Найдем интеграл: \( \int (x-1)^2\ln^2(x-1)dx \)
Решение: данный интеграл будем искать, применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\), предварительно для упрощения введем замену переменной \(x-1 = t => dx=dt \) , получаем $$\int t^2\ln^2(t)dt = $$
Введем обозначения \( u = \ln^2(t) => du = 2\frac{\ln(t)}{t}dt\) и \( dv = t^2dx => v = \int t^2dt = \frac{1}{3}t^3 \)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int t^2\ln^2(t)dt = \frac{1}{3}t^3 \ln^2(t) - \int \frac{1}{3}t^3*2\frac{\ln(t)}{t}dt = $$$$ = \frac{1}{3}t^3 \ln^2(t) - \frac{2}{3}\int t^2\ln(t)dt = \quad (1)$$
найдем интеграл \( \int t^2\ln(t)dt \) по формуле интегрирования по частям. Введем обозначения \(u = \ln(t) => du = \frac{1}{t}dt\) и \( dv = t^2dt => v = \frac{t^3}{3} \), подставляем результата в формулу интегрирования по частям $$ \int t^2\ln(t)dt = \frac{t^3}{3}\ln(t) - \int \frac{t^3}{3}\frac{1}{t}dt = $$$$ = \frac{t^3}{3}\ln(t) - \int \frac{t^2}{3}dt = \frac{t^3}{3}\ln(t) - \frac{t^3}{9} + C $$ подставляем в (1) $$ = \frac{1}{3}t^3 \ln^2(t) - \frac{2}{3}(\frac{t^3}{3}\ln(t) - \frac{t^3}{9}) + C = \frac{1}{3}t^3 \ln^2(t) - \frac{2t^3}{9}\ln(t) + \frac{2t^3}{27} + C= $$$$ = \frac{1}{27}t^3( 9\ln^2(t) - 6\ln(t) + 2) + C$$ применяем обратную замену \(t = x-1\) $$ = \frac{1}{27}(x-1)^3( 9\ln^2(x-1) - 6\ln(x-1) + 2) + C$$
Ответ: \( \int (x-1)^2\ln^2(x-1)dx = \frac{1}{27}(x-1)^3( 9\ln^2(x-1) - 6\ln(x-1) + 2) + C \)
