Найдем интеграл: \( \int \frac {5^x }{\sqrt{3* 25^x -14}}dx \)
Решение: применим метод замены переменной, введем обозначение, при этом учтем \( 25^x = 5^{2x} \), \( 5^{x} = t => 5^x\ln(5)dx = dt => 5^xdx = \frac{1}{\ln(5)}dt \), подставляем в интеграл $$ \int \frac{5^x }{\sqrt{3* 25^x -14}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{3}\ln(5)\sqrt{t^2 -\frac{14}{3}}}dt = $$ применяем табличную формулу \( \int \frac{1}{ \sqrt{x^2 - a^2}}dx = \ln(x + \sqrt{x^2-a^2}) +C\) $$ = \frac{1}{\sqrt{3}\ln(5)} \ln(t + \sqrt{t^2 -\frac{14}{3}}) +C = \frac{1}{\sqrt{3}\ln(5)} \ln(\sqrt{3}*t + \sqrt{3t^2 -14}) +C_1$$ применяем обратную замену \(t = 5^x \), получаем $$ = \frac{1}{\sqrt{3}\ln(5)} \ln(\sqrt{3}*5^x + \sqrt{3*5^{2x} -14}) +C $$
Ответ: \( \int \frac {5^x }{\sqrt{3* 25^x -14}}dx = \frac{1}{\sqrt{3}*\ln(5)} \ln(\sqrt{3}*5^x + \sqrt{3*5^{2x} -14}) +C \)
