Исследуем функцию \( y = (x-1)*e^{3*x+1} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Область определения функции $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
Функция не имеет вертикальной асимптоты.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x-1)*e^{3*(-x)+1} \) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( (x-1)*e^{3*x+1} = 0 => x = 1\). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами \((1;0)\).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox, т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; 1) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = (x-1)*e^{3*x+1} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((1; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = (x-1)*e^{3*x+1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = (x-1)*e^{3*x+1} = -e \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0;e)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ((x-1)*e^{3*x+1} )'= e^{3*x+1} + 3(x-1)e^{3*x+1} = e^{3*x+1}( 3x-2)$$ приравняем к 0 $$ e^{3*x+1}( 3x-2) =0 => x = \frac{2}{3}$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке
\(f(\frac{2}{3}) = (x-1)*e^{3*x+1} = -\frac{e^3}{3} \approx -6.7 \), получили координаты критической точки \((\frac{2}{3}; -\frac{e^3}{3})\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку они делят ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((-\infty; \frac{2}{3}\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = e^{3*x+1}( 3x-2) < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( \frac{2}{3}; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = e^{3*x+1}( 3x-2) > 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = \frac{2}{3}\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((\frac{2}{3}; -\frac{e^3}{3})\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (e^{3*x+1}( 3x-2))' = 3e^{3*x+1} + 3e^{3*x+1}( 3x-2)= $$$$ = 3e^{3*x+1}(3x-1) $$ Приравняем к нулю $$ 3e^{3*x+1}(3x-1) = 0 => x = \frac{1}{3}$$ получили точкe возможного перегиба. Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба
интервал \((-\infty; \frac{1}{3})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = 3e^{3*x+1}(3x-1) < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( \frac{1}{3}; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 3e^{3*x+1}(3x-1) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = \frac{1}{3} \): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Найдем значение функции в точку перегиба \(f(\frac{1}{3}) = (x-1)*e^{3*x+1} = -\frac{2}{3}e^2 \approx -4.9\)
Координаты точки перегиба \(( \frac{1}{3}; -\frac{2}{3}e^2 )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= (x-1)*e^{3*x+1} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(x-1)*e^{3*x+1}}{x} = \infty $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$Т.к. \(k= \infty \)
Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}(x-1)*e^{3*x+1} = +\infty $$$$ \lim_{x \to -\infty}(x-1)*e^{3*x+1} = 0 $$
Горизонтальная асимптота \(x=0\) при \( x \to -\infty\).
9. График функции.
