Найдем интеграл: \( \int \frac{x}{ \sqrt{49-x^4}}dx \)
Решение: понизим степень \(x^4\) в знаменателе путем введения новой переменной. Введем замену переменной \(x^2 = t => 2xdx = dt => xdx = \frac{1}{2}dt\), применяем замену $$ \int \frac{x}{ \sqrt{49-x^4}}dx = \int \frac{1}{2 \sqrt{49-t^2}}dt = \int \frac{1}{14 \sqrt{1-(\frac{t}{7})^2}}dt = $$ применим формулу табличного интеграла арксинуса \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin(x) + C\), предварительно применим вторую замену \( \frac{t}{7} = u => dt = 7du\), получаем $$ = \int \frac{7}{14\sqrt{1-u^2}}du = \frac{1}{2}\arcsin(u) + C$$ применяем первую обратную замену \( u =\frac{t}{7} \), $$ = \frac{1}{2}\arcsin(\frac{t}{7}) + C$$ применяем вторую обратную замену \(t =x^2\) $$ = \frac{1}{2}\arcsin(\frac{x^2}{7}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{x}{\sqrt{49-x^4}}dx = \frac{1}{2}\arcsin(\frac{x^2}{7}) + C \)
