Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Решить дифференицальное уравнение \frac{y''}{y'}=e^ {y+1}


0 Голосов
Дмитрий
Posted Апрель 14, 2014 by Дмитрий
Категория: Дифференциальные уравнения
Всего просмотров: 1065

Решить дифференицальное уравнение \frac{y''}{y'}=e^{y+1}

Теги: дифференциальное уравнение без независимой переменной, дифференциальное уравнение второго порядка

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Апрель 14, 2014 by Вячеслав Моргун

Решим дифференциальное уравнение \frac{y''}{y'}=e^{y+1}
Решение: данное дифференциальное уравнение относится к виду уравнений, которые не имеют явно независимой переменной: F(y,y',y'', ..., y^(n)) = 0

данный тип уравнений решается методом понижения порядка производной путем введения переменной y' = p_y => y'' = p'_yp_y
подставляем в дифференциальное уравнение \frac{y''}{y'}=e^{y+1} => \frac{p'_yp_y}{p_y}=e^{y+1} =>
p'_yp_y - p_ye^{y+1}=0 => p_y(p'_y - e^{y+1})=0
получили решение:
  p'_y - e^{y+1} = 0 => \frac{dp_y}{dx} = e^{y+1} получили линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решаем его \frac{dp_y}{dy} = e^{y+1} => dp_y = e^{y+1}dy =>
интегрируем обе части равенства \int dp_y = \int e^{y+1}dy +C_1 => p_y = e^{y+1} +C_1
применяем обратную замену p_y = \frac{dy}{dx}, получаем \frac{dy}{dx} = e^{y+1} +C_1
получили линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными \frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = dx =>
проинтегрируем обе части равенства \int \frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = \int dx + C_2 => \quad (1)

найдем интеграл \int \frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = применим замену e^{y+1} +C_1 = t => e^{y+1}dy = dt => dy = \frac{dt}{t-C_1} подставляем = \int \frac{dt}{t(t-C_1)} = \frac{1}{C_1}(\int \frac{1}{t-C_1}dt - \int \frac{1}{t}dt) = = \frac{1}{C_1}( \ln(t-C_1) - \ln(t)) применяем обратную замену t = e^{y+1} +C_1 , получаем = \frac{1}{C_1}( \ln(e^{y+1} +C_1-C_1) - \ln(e^{y+1} +C_1)) = \frac{1}{C_1}( y+1 - \ln(e^{y+1} +C_1)) = \frac{y - \ln(e^{y+1} +C_1)}{C_1}
Подставляем результат в (1) = \frac{y - \ln(e^{y+1} +C_1)}{C_1} = x + C_2 =>
выразим y = f(x) \ln e^y - \ln(e^{y+1} +C_1) = xC_1 + C_2C_1 => \ln \frac{e^y}{e^{y+1} +C_1} = xC_1 + C_2C_1 =>
пропотенцируем обе части равенства   \frac{e^y}{e^{y+1} +C_1} = e^{xC_1 + C_2C_1} => \frac{e^{y+1} +C_1}{e^y} = e^{-xC_1 - C_2C_1} =>
e +\frac{C_1}{e^y} = e^{-xC_1 - C_2C_1} => e^{-y} = \frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1}
прологарифмируем обе части равенства y = -\ln(\frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1})


Ответ: дифференциальное уравнение   \frac{y''}{y'}=e^{y+1} имеет решение  y = -\ln(\frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1})