Решим дифференциальное уравнение: \frac{y''}{y'}=e^{y+1}
Решение: данное дифференциальное уравнение относится к виду уравнений, которые не имеют явно независимой переменной: F(y,y',y'', ..., y^(n)) = 0
данный тип уравнений решается методом понижения порядка производной путем введения переменной
y' = p_y => y'' = p'_yp_y
подставляем в дифференциальное уравнение
\frac{y''}{y'}=e^{y+1} => \frac{p'_yp_y}{p_y}=e^{y+1} =>
p'_yp_y - p_ye^{y+1}=0 => p_y(p'_y - e^{y+1})=0
получили решение:
p'_y - e^{y+1} = 0 => \frac{dp_y}{dx} = e^{y+1} получили линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решаем его
\frac{dp_y}{dy} = e^{y+1} => dp_y = e^{y+1}dy =>
интегрируем обе части равенства
\int dp_y = \int e^{y+1}dy +C_1 => p_y = e^{y+1} +C_1
применяем обратную замену
p_y = \frac{dy}{dx}, получаем
\frac{dy}{dx} = e^{y+1} +C_1
получили линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
\frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = dx =>
проинтегрируем обе части равенства
\int \frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = \int dx + C_2 => \quad (1)
найдем интеграл
\int \frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = применим замену
e^{y+1} +C_1 = t => e^{y+1}dy = dt => dy = \frac{dt}{t-C_1} подставляем
= \int \frac{dt}{t(t-C_1)} = \frac{1}{C_1}(\int \frac{1}{t-C_1}dt - \int \frac{1}{t}dt) = = \frac{1}{C_1}( \ln(t-C_1) - \ln(t)) применяем обратную замену
t = e^{y+1} +C_1 , получаем
= \frac{1}{C_1}( \ln(e^{y+1} +C_1-C_1) - \ln(e^{y+1} +C_1)) = \frac{1}{C_1}( y+1 - \ln(e^{y+1} +C_1)) = \frac{y - \ln(e^{y+1} +C_1)}{C_1} Подставляем результат в (1)
= \frac{y - \ln(e^{y+1} +C_1)}{C_1} = x + C_2 =>
выразим
y = f(x) \ln e^y - \ln(e^{y+1} +C_1) = xC_1 + C_2C_1 => \ln \frac{e^y}{e^{y+1} +C_1} = xC_1 + C_2C_1 =>
пропотенцируем обе части равенства
\frac{e^y}{e^{y+1} +C_1} = e^{xC_1 + C_2C_1} => \frac{e^{y+1} +C_1}{e^y} = e^{-xC_1 - C_2C_1} =>
e +\frac{C_1}{e^y} = e^{-xC_1 - C_2C_1} => e^{-y} = \frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1}
прологарифмируем обе части равенства
y = -\ln(\frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1})
Ответ: дифференциальное уравнение \frac{y''}{y'}=e^{y+1} имеет решение y = -\ln(\frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1})