Решим дифференциальное уравнение: \( \frac{y''}{y'}=e^{y+1} \)
Решение: данное дифференциальное уравнение относится к виду уравнений, которые не имеют явно независимой переменной: $$F(y,y',y'', ..., y^(n)) = 0$$ данный тип уравнений решается методом понижения порядка производной путем введения переменной $$y' = p_y => y'' = p'_yp_y$$ подставляем в дифференциальное уравнение $$\frac{y''}{y'}=e^{y+1} => \frac{p'_yp_y}{p_y}=e^{y+1} => $$$$ p'_yp_y - p_ye^{y+1}=0 => p_y(p'_y - e^{y+1})=0$$ получили решение:
\( p'_y - e^{y+1} = 0 => \frac{dp_y}{dx} = e^{y+1} \) получили линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решаем его $$\frac{dp_y}{dy} = e^{y+1} => dp_y = e^{y+1}dy =>$$ интегрируем обе части равенства $$ \int dp_y = \int e^{y+1}dy +C_1 => p_y = e^{y+1} +C_1$$ применяем обратную замену \(p_y = \frac{dy}{dx}\), получаем $$ \frac{dy}{dx} = e^{y+1} +C_1$$ получили линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $$ \frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = dx =>$$ проинтегрируем обе части равенства $$ \int \frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = \int dx + C_2 => \quad (1)$$
найдем интеграл \( \int \frac{dy}{e^{y+1} +C_1} = \) применим замену \( e^{y+1} +C_1 = t => e^{y+1}dy = dt => dy = \frac{dt}{t-C_1}\) подставляем \( = \int \frac{dt}{t(t-C_1)} = \frac{1}{C_1}(\int \frac{1}{t-C_1}dt - \int \frac{1}{t}dt) = \) \( = \frac{1}{C_1}( \ln(t-C_1) - \ln(t))\) применяем обратную замену \( t = e^{y+1} +C_1 \), получаем \( = \frac{1}{C_1}( \ln(e^{y+1} +C_1-C_1) - \ln(e^{y+1} +C_1)) = \frac{1}{C_1}( y+1 - \ln(e^{y+1} +C_1)) = \frac{y - \ln(e^{y+1} +C_1)}{C_1} \)
Подставляем результат в (1) $$ = \frac{y - \ln(e^{y+1} +C_1)}{C_1} = x + C_2 =>$$ выразим \(y = f(x)\) $$ \ln e^y - \ln(e^{y+1} +C_1) = xC_1 + C_2C_1 => \ln \frac{e^y}{e^{y+1} +C_1} = xC_1 + C_2C_1 =>$$ пропотенцируем обе части равенства $$ \frac{e^y}{e^{y+1} +C_1} = e^{xC_1 + C_2C_1} => \frac{e^{y+1} +C_1}{e^y} = e^{-xC_1 - C_2C_1} =>$$$$ e +\frac{C_1}{e^y} = e^{-xC_1 - C_2C_1} => e^{-y} = \frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1}$$ прологарифмируем обе части равенства $$ y = -\ln(\frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1}) $$
Ответ: дифференциальное уравнение \( \frac{y''}{y'}=e^{y+1} \) имеет решение \( y = -\ln(\frac{e^{-xC_1 - C_2C_1}}{C_1} -\frac{e}{C_1}) \)
