Найдем интеграл: \( \int \frac{2x-6}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx \)
Решение: выделим в числителе производную в знаменателе \( (x^2-7x+8)' = 2x-7 \), получим $$ \int \frac{2x-6}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx = \int \frac{2x - 7 + 1}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx = $$$$ = \int \frac{2x - 7}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx = \quad (1)$$ решаем интегралы отдельно
1. найдем интеграл \( \int \frac{2x - 7}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx \) введем замену переменной \( x^2-7x+8 = t => (2x-7)dx = dt \), подставляем
$$ \int \frac{2x - 7}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}}dt = \frac{1}{1-\frac{1}{2}}t^{1-\frac{1}{t}} +C = 2\sqrt{t} + C$$ применяем обратную замену \( t = x^2-7x+8\) $$ = 2\sqrt{x^2-7x+8} + C$$
2. найдем интеграл \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx \) выделим полный квадрат в знаменателе \( x^2-7x+ 8 = x^2-2\frac{7}{2}x+ \frac{49}{4} - \frac{49}{4} + 8 = (x-\frac{7}{2})^2 - \frac{17}{4}\), подставляем $$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x-\frac{7}{2})^2 - \frac{17}{4}}}dx$$ применяем формул табличного интеграла \( \int \frac{1}{ \sqrt{x^2 - a^2}}dx = \ln(x + \sqrt{x^2- a^2}) + C\), получаем $$ = \int \frac{1}{\sqrt{(x-\frac{7}{2})^2 - \frac{17}{4}}}dx = \ln (x-\frac{7}{2} + \sqrt{(x-\frac{7}{2})^2- \frac{17}{4}}) + C$$$$ = \ln(2x-7 + \sqrt{(x^2-7x+8}) + \ln(2) + C = \ln(2x-7 + \sqrt{(x^2-7x+8}) + C$$
3. Подставляем результаты в (1)
$$ = 2\sqrt{x^2-7x+8} + \ln(2x-7 + \sqrt{(x^2-7x+8}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{2x-6}{\sqrt{x^2-7x+8}}dx = 2\sqrt{x^2-7x+8} + \ln(2x-7 + \sqrt{(x^2-7x+8}) + C\)
