Найдем интеграл: \( \int \cos^6(x)dx \)
Решение: для нахождения интеграла проведем преобразование подынтегрального выражения. Будем понижать степень косинуса, применим формулу косинуса двойного угла \( \cos(2x) = 1-2\sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 => \quad \) \( \cos^2(x) = \frac{\cos(2x)+1}{2}; \quad \sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), получим $$ \int \cos^6(x)dx = \int (\frac{\cos(2x)+1}{2})^3dx =$$ применим формулу куб суммы \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), получим $$ =\frac{1}{8} \int (\cos^3(2x)+3 \cos^2(2x) + 3 \cos(2x) + 1)^3dx =$$ повторно применим формулу $$ = \frac{1}{8} \int (\cos(2x)\frac{\cos(4x)+1}{2}+3 \frac{\cos(4x)+1}{2} + 3 \cos(2x) + 1)dx = $$$$ =\frac{1}{16} \int (\cos(2x)\cos(4x)+\cos(2x)+3\cos(4x)+3 + 6\cos(2x) + 2)dx$$ применим формулу произведения косинусов \( \cos(x)\cos(y) = \frac{ \cos(x-y) + \cos(x+y)}{2}\) получаем $$ = \frac{1}{16} \int ( \frac{\cos(2x) + \cos(6x)}{2}+\cos(2x)+3\cos(4x)+3 + 6\cos(2x) + 2)dx$$ применяем табличную формулу интеграла от косинуса \( \int \cos(ax)dx = \frac{1}{a}\sin(ax) +C\), получаем $$ = \frac{1}{16}( \frac{1}{4} \sin(2x) + \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\sin(4x) + 3x +\frac{6}{2}\sin(2x) + 2x) =$$$$ = \frac{1}{16}( 5x + \frac{15}{4} \sin(2x) + \frac{3}{4}\sin(4x) + \frac{1}{12}\sin(6x) ) + C $$
Ответ: \( \int \cos^6(x)dx = \frac{1}{16}( 5x + \frac{15}{4} \sin(2x) + \frac{3}{4}\sin(4x) + \frac{1}{12}\sin(6x) )+ C \)
