Найдем интеграл: \( \int \sin^5(x)dx \)
Решение: для нахождения интеграла проведем преобразование подынтегрального выражения. Будем понижать степень синуса $$ \sin^5(x) = \sin^3(x)*\sin^2(x) =$$ применим формулу основного тригонометрического тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), получим $$ = \sin^3(x)*(1 - \cos^2(x)) = \sin^3(x) - \sin^3(x) \cos^2(x) = $$ применим формуду синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), получим $$ = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) - \frac{1}{4}\sin(x) \sin^2(2x) = $$ применим формулу косинуса двойного угла \( \cos(2x) = 1-2\sin^2(x)=2\cos^2(x) - 1 => \) \( \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}; \quad \cos^2(x) = \frac{\cos(2x)+1}{2} \), получаем $$ = \sin(x) - \sin(x)\frac{\cos(2x)+1}{2} - \frac{1}{4}\sin(x) \frac{1-\cos(4x)}{2} = $$$$ = \frac{3}{8}\sin(x) - \frac{1}{2} \sin(x)\cos(2x) + \frac{1}{8}\sin(x)\cos(4x) =$$ применим формулу произведения синуса на косинус \( \sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}\), получаем $$= \frac{3}{8}\sin(x) - \frac{1}{4} (\sin(3x) - \sin(x)) + \frac{1}{16}(\sin(5x) - \sin(3x)) =$$$$ \frac{5}{8}\sin(x) - \frac{5}{16} \sin(3x) + \frac{1}{16} \sin(5x)$$ подставляем все в интеграл $$ \int \sin^5(x)dx = \int (\frac{5}{8}\sin(x) - \frac{5}{16} \sin(3x) + \frac{1}{16} \sin(5x)) dx =$$ применяем табличную формулу интеграла от синуса \( \int \sin(ax)dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) +C\), получаем $$ = -\frac{5}{8}\cos(x) + \frac{5}{48} \cos(3x) - \frac{1}{80} \cos(5x) + C$$
Ответ: \(\int \sin^5(x)d = -\frac{5}{8}\cos(x) + \frac{5}{48} \cos(3x) - \frac{1}{80} \cos(5x) + C \)
