Найдем интеграл: \( \int \sin(7x)\cos(2x)dx\)
Решение: для нахождения интеграла проведем преобразование подынтегрального выражения. Применим формулу произведения синуса и косинуса \( \sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}\), получаем \( \sin(7x)\cos(2x) = \frac{\sin(7x+2x)+\sin(7x-2x)}{2} = \frac{\sin(9x)+\sin(5x)}{2}\). Подставляем результат в формулу интеграла $$\int \sin(7x)\cos(2x)dx = \int \frac{\sin(9x)+\sin(5x)}{2}dx = $$$$ = \frac{1}{2} \int (\sin(9x)+\sin(5x))dx = \frac{1}{2} [\int \sin(9x)dx+ \int \sin(5x)dx]$$ применяем формулу табличного интеграла от косинуса \( \int \sin(ax)dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) +C\), получаем $$ = \frac{1}{2} [- \frac{1}{9} \cos(9x)- \frac{1}{5}\cos(5x)] +C = -\frac{1}{90} [ 5 \cos(9x)+ 9\cos(5x)] +C$$
Ответ: \( \int \sin(7x)\cos(2x)dx = -\frac{1}{90} [ 5 \cos(9x)+ 9\cos(5x)] +C \)
