Найдем интеграл: \( \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}}dx \)
Решение: будем решать интеграл методом замены независимой переменной, введем замену из следующих соображений: для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе введем замену в степени равной наименьшему делителю двух корней второй и третей степени, т.е. \(x+1 = t^6 => x = t^6 - 1 => dx = 6t^5dt \), подставляем $$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}}dx = \int \frac{(t^6 - 1)6t^5}{t^3+t^2}dt = $$$$ = 6\int \frac{(t^6 - 1)t^3}{t+1}dt =$$ видно, что \(t = -1\), является корнем многочлена в числителе, поэтому разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, получим \( \frac{t^6 - 1}{t+1} = t^5 - t^4 + t^3 - t^2 + t - 1\), подставляем в интеграл $$ = 6\int ( t^5 - t^4 + t^3 - t^2 + t - 1)t^3dt = 6\int ( t^8 - t^7 + t^6 - t^5 + t^4 - t^3)dt$$ воспользуемся линейным свойство неопределенного интеграла - интеграл суммы равен сумме интегралов $$ = 6[ \int t^8dt - \int t^7dt + \int t^6dt - \int t^5dt + \int t^4dt - \int t^3dt] = $$ применим формулу табличного интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получим $$ = 6[ \frac{t^9}{9} - \frac{t^8}{8} + \frac{t^7}{7} - \frac{t^6}{6} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^4}{4}] + C = $$ применим обратную замену \( t^6 = x+1 => t = (x+1)^{\frac{1}{6}} \), получим $$ = \frac{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 (x+1)^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{6 (x+1)^{\frac{7}{6}}}{7} - (x+1) + \frac{6 (x+1)^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{3 (x+1)^{\frac{2}{3}}}{2} + C = $$$$= \frac{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 (x+1)^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{6 (x+1)^{\frac{7}{6}}}{7} - x + \frac{6 (x+1)^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{3 (x+1)^{\frac{2}{3}}}{2} + C$$
Ответ: \( \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}}dx = \frac{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 (x+1)^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{6 (x+1)^{\frac{7}{6}}}{7} - x + \frac{6 (x+1)^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{3 (x+1)^{\frac{2}{3}}}{2} + C \)
