Найдем интеграл: \( \int (\arcsin(x))^2dx \)
Решение: данный интеграл будем находить применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\). Введем обозначения \( u = (\arcsin(x))^2 => du = 2(\arcsin(x))*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\) и \( dv = dx => v = \int dx = x \)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int (\arcsin(x))^2dx = $$$$ = x(\arcsin(x))^2 - 2 \int x\arcsin(x)*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx + C = \quad (1)$$
найдем интеграл \( \int x\arcsin(x)*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \) по формуле интегрирования по частям. Введем обозначения \(u = \arcsin(x) => du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\) и \( dv = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx => v = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx \) для нахождения интеграла введем замену переменной \(1-x^2 = t^2 => -2xdx = 2tdt => xdx = -tdt\), получаем \( v = - \int \frac{t}{\sqrt{t^2}}dt = -t +C \)применяем обратную замену \(1-x^2 = t^2 => t = \sqrt{1-x^2}\), получаем \( v = -\sqrt{1-x^2}\), подставляем результата в формулу интегрирования по частям $$ \int x(\arcsin(x))*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = $$$$ = -\arcsin(x) \sqrt{1-x^2} + \int \sqrt{1-x^2}* \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx =$$$$ = -\arcsin(x) \sqrt{1-x^2} + x $$
подставляем решения в (1) $$ = x(\arcsin(x))^2 + 2 (\arcsin(x) \sqrt{1-x^2} - x) + C$$
Ответ: \( \int (\arcsin(x))^2dx = \) \( = x(\arcsin(x))^2 + 2 (\arcsin(x) \sqrt{1-x^2} - x) + C \)
