Вычислить используя формулу интегрирования по частям $$\int ( \arcsin(x))^2dx$$

Найдем интеграл: $\int (\arcsin(x))^2dx$
Решение: данный интеграл будем находить применяя формулу интегрирования по частям $\int udv = uv - \int vdu$. Введем обозначения $u = (\arcsin(x))^2 => du = 2(\arcsin(x))*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ и $dv = dx => v = \int dx = x$
Подставляем в формулу интегрирования по частям

$$\int (\arcsin(x))^2dx =$$ $$= x(\arcsin(x))^2 - 2 \int x\arcsin(x)*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx  + C = \quad (1)$$
найдем интеграл $\int x\arcsin(x)*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ по формуле интегрирования по частям. Введем обозначения $u  =  \arcsin(x) => du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ и $dv = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx => v = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ для нахождения интеграла введем замену переменной $1-x^2 = t^2 => -2xdx = 2tdt => xdx = -tdt$, получаем  $v = - \int \frac{t}{\sqrt{t^2}}dt = -t +C$применяем обратную замену $1-x^2 = t^2 => t = \sqrt{1-x^2}$, получаем $v = -\sqrt{1-x^2}$, подставляем результата в формулу интегрирования по частям $$\int x(\arcsin(x))*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx =$$ $$= -\arcsin(x) \sqrt{1-x^2} + \int \sqrt{1-x^2}* \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx =$$ $$= -\arcsin(x) \sqrt{1-x^2} + x$$
подставляем решения в (1) $$= x(\arcsin(x))^2 + 2 (\arcsin(x) \sqrt{1-x^2} - x)  + C$$

Ответ: $\int (\arcsin(x))^2dx  =$ $= x(\arcsin(x))^2 + 2 (\arcsin(x) \sqrt{1-x^2} - x)  + C$