Вычислить интеграл используя замену переменных $$\int\frac{dx}{\cos^2(x)\sqrt{1+tg(x)}}$$

Найдем интеграл: $\int \frac{dx}{cos^2(x)\sqrt{1+tg(x)}}$
Решение: находить интеграл будет методом замены переменной. В формуле видим $tg(x)$ и $\frac{1}{\cos^2(x)}$. Согласно таблицы производных $(tg(x))' = \frac{1}{ \cos^2(x)}$, т.е. понятно, какую будем вводить замену $tg(x) + 1 = t => \frac{1}{\cos^2(x)}dx = dt$. Применяем замену $$\int \frac{dx}{cos^2(x)\sqrt{1+tg(x)}} = \int \frac{dt}{ \sqrt{t}} = \int t^{-\frac{1}{2}}dt =$$ применяем табличный интеграл от степенной функции $\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} +C$, получаем $$= \frac{1}{1-\frac{1}{2}}t^{1-\frac{1}{2}} +C = 2\sqrt{t} + C$$ применяем обратную замену $t =tg(x) + 1$, получаем $$= 2\sqrt{tg(x) + 1} + C$$

Ответ: $\int \frac{dx}{cos^2(x)\sqrt{1+tg(x)}} = 2\sqrt{tg(x) + 1} + C$$$