Известно, что функция $y =F(x)$ - первообразная для функции $y = (25x - x^3)\sqrt{x-3}$. Иссл

Как известно, для исследования функции на монотонность и нахождения экстремумов необходимо найти первую производную функции. Согласно условия задачи, функция $F(x)$ -  первообразная функции $y$, т.е. согласно определения первообразной функция $y$ это уже и есть первая производная, поэтому для исследования на монотонноть и нахождения экстремумов приравняем ее к 0 и определим знак производной на полученных интервалах.

$$(25x - x^3)\sqrt{x-3} = 0 => x*(25 - x^2)\sqrt{x-3} = 0 =>x*(x -5)*(x+5)*\sqrt{x-3} = 0$$ получили 4  точки $x =-5, x=0, x=3, x=5$, однако по ОДЗ для корня получим $x - 3 \geq 0 => x \geq 3$, т.е. будем рассматривать функцию на интервале $[3; +\infty)$. На этом интервале находится всего 2 ситационарные точки, одна из которых - граница интервала, т.е.  $x = 3$ не является экстремумом . Найдем знак производной на интервалах

1. $x \in (3;5), y < 0$ - интервал монотонного убывания функции


2. $x \in (5; +\infty), y > 0$ - интервал монотонного возрастания функции

То что касается экстремумов, в точке $x = 5$ - точка минимума, так как знак производной меняется с - на +.