Исследуем функцию \( y=x* \sqrt{x^2-1} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения корня, т.е. \(x ^2 - 1 \geq 0 => |x| \geq 1 =>\)$$D_f=(-\infty; -1] \cup [1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)* \sqrt{(-x)^2-1} = -x* \sqrt{x^2-1}\) функция является не четной, т.е. симметричной относительно начала координат. Можно исследовать функцию на интервале \( [1;+\infty)\), а на интервале \( (-\infty; -1] \) строить симметрично относительно начала координат. Проведем исследование на всем ОДЗ.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим $$x* \sqrt{x^2-1}) = 0 => x_1=0 \quad x_2=1 \quad x_3=-1$$ Точка \(x = 0\) - не попадает в ОДЗ. График функции имеет две точки пересечения с осью Ox с координатами \((-1;0) \quad (1;0)\)
Интервалы знакопостоянства функции: кривая имеет две точки пересечения с осью Ox (границы интервала ОДЗ), т.е. два интервала знакопостоянства на ОДЗ, рассмотрим их
интервал \((-\infty;-1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = x*( \sqrt{x^2-1}) < 0 \), функция положительная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((1; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = x*( \sqrt{x^2-1}) > 0 \), функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\) - не попадает в ОДЗ, т.е. нет точек пересечения с осью Oy.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x* \sqrt{x^2-1})' = \sqrt{x^2-1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{2x^2 -1}{\sqrt{x^2-1}}$$ приравняем к 0 $$\frac{2x^2 -1}{\sqrt{x^2-1}} = 0 => x = \pm \frac{1}{ \sqrt{2}}$$ Координаты полученных точек находятся за пределами ОДЗ, т.е. критических точек функция не имеет. При всех значениях \(x\) первая производная \(f'(x) > 0 \), т.е функция на всем ОДЗ возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили функция критических точек (точек вероятного экстремума) не имеет, т.е. нет экстремумов.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\frac{2x^2 -1}{\sqrt{x^2-1}})' = \frac{4x\sqrt{x^2-1} - \frac{x(2x^2-1)}{ \sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} = $$$$ = \frac{4x(x^2-1) - x(2x^2-1)}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} = \frac{x(2x^2 -3)}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} $$ Приравняем к 0 вторую производную $$ \frac{x(2x^2 -3)}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} = 0 => x_1=0 \quad x_{2,3} \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$ Получили точки возможного перегиба \( x_{2,3} \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \), а точка \(x_1 = 0\) - находится за пределами ОДЗ
Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точек возможного перегиба
интервал \((-\infty; - \sqrt{\frac{3}{2}}\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-2) = \frac{x(2x^2 -3)}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( - \sqrt{\frac{3}{2}}; -1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1.1) = \frac{x(2x^2 -3)}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} > 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((1; \sqrt{\frac{3}{2}} )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1.1) = \frac{x(2x^2 -3)}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( \sqrt{\frac{3}{2}}; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = \frac{x(2x^2 -3)}{(x^2-1) \sqrt{x^2-1}} > 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
я вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет две точки, в которой вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = - \sqrt{\frac{3}{2}}\): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
точка \(x = \sqrt{\frac{3}{2}} \): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Найдем значения функции \(f(- \sqrt{\frac{3}{2}}) \approx -0.86 \)
Найдем значения функции \(f( \sqrt{\frac{3}{2}}) \approx 0.86 \)
Координаты точек перегиба \(( - \sqrt{\frac{3}{2}}; -0.87 )\) ; \(( \sqrt{\frac{3}{2}}; 0.87 )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Точек разрыва функция не имеет и в концах интервала ОДЗ \(x = \pm 1\) существует, т.е. график функции вертикальной асимптоты не имеет.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =x* \sqrt{x^2-1}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x* \sqrt{x^2-1}}{x} = +\infty => k= +\infty$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к \(k = +\infty\) - график функции наклонной асимптоты не имеет.
9. График функции.
