Найти экстремумы функции двух переменных $$z=-4x^2+4xy-3y^2-12x+2y-11 $$

Ищем экстремумы функции двух переменных $$z=-4x^2+4xy-3y^2-12x+2y-11$$
Решение:
1. находим частные производные $$z'_x = -8x+4y-12$$$$z'_y =4x-6y+2$$
2. необходимое условие локального экстремума.
Находим стационарные точки (точки возможного экстремума) для этого составим систему уравнений $$\begin{cases} -8x+4y-12 = 0 \\ 4x-6y+2 = 0 \end{cases} => \begin{cases} -2x+y-3 = 0 \\ 2x-3y+1 =0\end{cases} => $$$$ \begin{cases} -2y-2 = 0 \\ 2x-3y+1 = 0 \end{cases} => \begin{cases} y=-1 \\ x=-2 \end{cases}$$ Получили одну стационарную точку \(x = -2; y = -1\)
3. для проверки достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные:
$$a_{11} = z''_{x^2} = (-8x+4y-12)'_x = -8$$
$$a_{12} = z''_{xy} =(-8x+4y-12)'_y = 4$$
$$a_{22} = z''_{y^2} = (4x-6y+2)'_y = -6$$
4. находим определитель $$Δ_{xy} = \left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - a_{12}^2$$ подставляем значения коэффициентов $$ Δ_{xy} = -8*(-6) - 4^2 = 48 - 16 = 32 $$
5. проводим анализ результата \(Δ_{xy} > 0; \quad a_{11} < 0; \quad a_{22} < 0 \) - получили экстремум максимум
при этом \(z_{max}(-2;-1) = 0\)
Ответ: функция имеет точку максимума.