Найдем интеграл: \( \int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{\sqrt{x^2-3}}{x^4}dx \)
Решение: преобразуем подынтегральную функцию $$ \int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{\sqrt{x^2-3}}{x^4}dx = \int_{\sqrt{3}}^{2} (x^2-3)^{\frac{1}{2}}x^{-4}dx = $$ получили интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ Данный интеграл будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = -4; \quad a = -3; \quad b = 1; \quad n = 2; \quad p = \frac{1}{2}\). Проверим $$ \frac{m+1}{n}+p = \frac{-4+1}{2} + \frac{1}{2} = -1$$ получили целое число, т.е. имеем третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n}+b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ 1- 3x^{-2} = t^2 => 6x^{-3}dx = 2tdt => x^{-3}dx = \frac{1}{3}tdt$$Произведем пересчет границ \( t = \sqrt{1- 3x^{-2}} => \) нижняя граница \( x = \sqrt{3} \quad t = \sqrt{1- 3(\sqrt{3})^{-2}} = 0\), верхняя граница \( x = 2 \quad t = \sqrt{1- 3(2)^{-2}} = \frac{1}{2}\)
Подставляем замену и новые границы в интеграл $$ \int_{\sqrt{3}}^{2} (x^2-3)^{\frac{1}{2}}x^{-4}dx = \int_{\sqrt{3}}^{2} x(1-3x^{-2})^{\frac{1}{2}}x^{-4}dx = $$$$ = \int_{\sqrt{3}}^{2} (1-3x^{-2})^{\frac{1}{2}}x^{-3}dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}t^2dt =$$$$ \frac{1}{9}t^3|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9}(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{72}$$
Ответ: \( \int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{\sqrt{x^2-3}}{x^4}dx = \frac{1}{72} \)
