Исследуем функцию \(y=x-\ln(x+1)\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \(x + 1 > 0 => x > -1\)$$D_f=(-1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = -x-\ln(-x +1)\) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим $$x-\ln(x+1) = 0 => \ln e^x - \ln(x+1) = 0 =>$$$$ \ln \frac{e^x}{x+1} = 0 => \frac{e^x}{x+1} = 1 =>$$$$ = e^x =x+1 => x = 0 $$График функции имеет одну точку пересечения с осбю Ox с координатами \((0;0)\)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \( f(0) = 0-\ln(0+1) = 0 \), получили одну точку пересеченмя с осью с координатами \((0;0)\)
Интервалы знакопостоянства функции: кривая меет одну точку пересечения с осью Ox, т.е. два интервала знакопостоянства на ОДЗ, рассмотрим их
интервал \((-1; 0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-0,5) = -0,5 - \ln(-0,5+1) \approx 0.19 > 0 \), функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = 1-\ln(1+1) \approx 0.3 > 0 \), функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x-\ln(x+1))' = 1-\frac{1}{x+1} $$ приравняем к 0 $$1-\frac{1}{x+1} = 0 => x = 0$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точеку, т.е. одну точку возможного экстремума функции. Эта точка делит ось на два интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал \((-1 ;0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-0,5) = 1-\frac{1}{-0.5+1} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = 1-\frac{1}{2+1} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе черех критическую точку
точка \(x=0\) производная меняет знак с \( - \quad 0 \quad +\) - точка минимума с координатами \((0;0)\)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (1-\frac{1}{x+1})' = \frac{1}{(x+1)^2}$$ При всех значениях x вторая производная \(y'' > 0\), т.е. на всем ОДЗ функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Т.к. функция имеет постоянную выпуклость, точек перегиба у нее нет.
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки x = -1, найдем предел при x-> -1 $$\lim_{x \to -1}(x-\ln(x+1)) = -1 + \infty = +\infty$$получили, что ось прямая \(x=-1\) - вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =x-\ln(x+1)\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x-\ln(x+1)}{x} = 1 - \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(x+1)}{x} = 1 - 0 => k= 1$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}(x- \ln(x+1) - x) = -\lim_{x \to +\infty} \ln(x+1) = -\infty $$ получили, что график функции наклонной асимптоты не имеет.
8. График функции.
