Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = 1+ x^2\) и прямой \( y-2 =0 \)


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 1, 2013 by Вячеслав Моргун
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 20074

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = 1+ x^2\)  и прямой \( y-2 =0 \)

Теги: математический анализ, найти площадь фигуры, определенный интеграл

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 1, 2013 by Вячеслав Моргун

Построим фигуру, площадь которой необходимо найти (см. рис 1).


найти площадь фигуры, ограниченную кривыми


(рис. 1)


Это закрашенная фигура. Геометрический смысл интеграла - площадь фигуры, ограниченная сверху кривой, снизу осью \( x \) на заданном отрезке. Найдем отрезок - отрезок между точками пересечения кривых. Найдем эти точки. В точке пересечения кривых  \( x, y\) у них равны, поэтому приравняем уравнения и найдем \( x \) $$\begin{cases}y-2 = 0\\ y = 1 + x^2 \end{cases}=>\begin{cases}y = 2\\ 2 = 1 + x^2 \end{cases}=>\begin{cases}y = 2\\ x = \pm 1 \end{cases}$$т.е. мы получили нижнюю и верхняя границы интеграла. Фигура, ограниченной прямой \( y -2 =0\) на отрезке \( [-1;1]\) - это прямоугольник (ограничен прямой, осью \( x \) и перпендикулярами из точек пересечения), его площадь равна \( S_1 = a*b\), где \(a =2, b=2\),  \( S_1 = 4 \). Фигура, ограниченная кривой \( y = 1 + x^2 \) - сверху ограничена кривой, снизу осью \( x \), по бокам перпендикулярами из точек пересечения, по определению - определенный интеграл от этой функции на заданном отрезке, получаем $$S_2 = \int_{-1}^{1}(1+x^2) dx = x + \frac{1}{3}x^3 |_{-1}^{1} = 1 + \frac{1}{3} - (-1-\frac{1}{3}) = 2\frac{2}{3}$$площадь закрашенной фигуры - разность двух площадей $$S = S_1 - S_2 = 4 - 2\frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$$


 Ответ: площадь фигуры равна \(S  = 1\frac{1}{3} \)