Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}dx \)
Решение: преобразуем подынтегральную функцию $$ \int \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \int (1-x^2)^{-\frac{3}{2}} = $$ получили интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ Данный интеграл будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = 0; \quad a = 1; \quad b = -1; \quad n = 2; \quad p = -\frac{3}{2}\). Проверим $$ \frac{m+1}{n}+p = \frac{0+1}{2} - \frac{3}{2} = -1$$ получили целое число, т.е. имеем третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n}+b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ x^{-2} - 1 = t^2 => -2x^{-3}dx = 2tdt => x^{-3}dx = -tdt$$ Подставляем в интеграл замену $$ \int \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \int \frac{1}{x^3( x^{-2}-1)^{\frac{3}{2}}}dx = $$$$ = - \int \frac{tdt}{t^3}= - \int t^{-2}dt = \frac{1}{t} +C $$ применяем обратную замену \( x^{-2} - 1 = t^2 => t = \sqrt{x^{-2} - 1}\), получаем $$ =\frac{1}{\sqrt{x^{-2} - 1}} +C = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} +C$$
Ответ: \( \int \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} +C \)
