Найдем интеграл: \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx
Решение: данный интеграл будем находить применяя формулу интегрирования по частям \int udv = uv - \int vdu.
Введем обозначения u = x^2-2x+5 => du = (2x-2)dx и dv = e^{-x}dx => v = \int e^{-x}dx = -e^{-x} применим табличную формулу интеграла от экспоненциальной функции \int e^xdx = e^x + C , получим v = \int e^{-x}dx = -e^{-x} + C
Подставляем в формулу интегрирования по частям \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx = - (x^2-2x+5)e^{-x} + \int (2x-2)e^{-x}dx + C = \quad (1)
Повторно проинтегрируем по частям
u = 2x => du = 2dx и
dv = e^{-x}dx => v = \int e^{-x}dx = -e^{-x} подставляем в (1)
= - (x^2-2x+5)e^{-x} - (2x-2)e^{-x} + \int 2e^{-x}dx + C = - (x^2-2x+5)e^{-x} - (2x-2)e^{-x} + 2e^{-x} + C =
= -e^{-x}(x^2-2x+5 + 2x - 2 + 2) + C = -e^{-x}(x^2+5) + C
Ответ:
\int (x^2-2x+5)e^{-x}dx = -e^{-x}(x^2+5) + C