Loading Web-Font TeX/Size2/Regular
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти неопределённый интеграл \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx


0 Голосов
BOMBOMBOM
Posted Апрель 7, 2014 by BOMBOMBOM
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 1766

Найти неопределённый интеграл \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx

Теги: неопределенный интеграл, метод интегрирования по частям, найти неопределенный интеграл

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Апрель 7, 2014 by Вячеслав Моргун

Найдем интеграл: \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx
Решение: данный интеграл будем находить применяя формулу интегрирования по частям \int udv = uv - \int vdu.
Введем обозначения u = x^2-2x+5 => du = (2x-2)dx и dv = e^{-x}dx => v = \int e^{-x}dx = -e^{-x} применим табличную формулу интеграла от экспоненциальной функции \int e^xdx = e^x + C , получим v = \int e^{-x}dx = -e^{-x} + C
Подставляем в формулу интегрирования по частям \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx = - (x^2-2x+5)e^{-x}  + \int (2x-2)e^{-x}dx + C = \quad (1)


Повторно проинтегрируем по частям u = 2x => du = 2dx и dv = e^{-x}dx => v = \int e^{-x}dx = -e^{-x} подставляем в (1) = - (x^2-2x+5)e^{-x}  - (2x-2)e^{-x} + \int 2e^{-x}dx + C = - (x^2-2x+5)e^{-x}  - (2x-2)e^{-x} + 2e^{-x} + C =
= -e^{-x}(x^2-2x+5 + 2x - 2 + 2) + C = -e^{-x}(x^2+5) + C

Ответ: \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx  =  -e^{-x}(x^2+5) + C