Найдем интеграл: \( \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx \)
Решение: данный интеграл будем находить применяя формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\).
Введем обозначения \( u = x^2-2x+5 => du = (2x-2)dx\) и \( dv = e^{-x}dx => v = \int e^{-x}dx = -e^{-x} \) применим табличную формулу интеграла от экспоненциальной функции \( \int e^xdx = e^x + C \), получим \( v = \int e^{-x}dx = -e^{-x} + C\)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx = - (x^2-2x+5)e^{-x} + \int (2x-2)e^{-x}dx + C = \quad (1)$$
Повторно проинтегрируем по частям \( u = 2x => du = 2dx\) и \( dv = e^{-x}dx => v = \int e^{-x}dx = -e^{-x}\) подставляем в (1) $$ = - (x^2-2x+5)e^{-x} - (2x-2)e^{-x} + \int 2e^{-x}dx + C = - (x^2-2x+5)e^{-x} - (2x-2)e^{-x} + 2e^{-x} + C = $$$$ = -e^{-x}(x^2-2x+5 + 2x - 2 + 2) + C = -e^{-x}(x^2+5) + C$$
Ответ: \( \int (x^2-2x+5)e^{-x}dx = -e^{-x}(x^2+5) + C \)
