Найдем интеграл: \( \int (\sin(2x)+\cos(2x))^2dx \)
Решение: для нахождения интеграла проведем преобразования. Применим формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \), получим \( (\sin(2x)+\cos(2x))^2 = \sin(2x)^2 + 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos^2(2x) =\) применим формулу синуса двойного угла \( = 1+ 2\sin(2x)\cos(2x) = 1 + \sin(4x)\), получаем $$ \int (\sin(2x)+\cos(2x))^2dx = \int (1 + \sin(4x))dx = $$$$= \int dx +\int \sin(4x)dx = x - \frac{1}{4} \cos(4x) + C$$
Ответ: \( \int (\sin(2x)+\cos(2x))^2dx = x - \frac{1}{4} \cos(4x) + C \)
