Задача Коши - нахождение решения \(y = f(x)\) дифференциального уравнения, которое проходит через заданную точку \(M(x_0; y_0)\).
План решения задачи:
1. находим решения дифференциального уравнения.
2. выбираем то решение дифференциального уравнения (кривую), которое проходит через заданную точку.
Решение:
1. решаем дифференциальное уравнение \( y′=\frac{y}{x}+ \sin(\frac{y}{x}) \)
Данное уравнение - линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Т.к. \(y\) и \(x\) - однородные функции первой степени, то применим замену \(y = u(x)x => y' = u'(x)x + u(x)\), где \(u(x)\) - дифференцируемая функция, получаем $$y′=\frac{y}{x}+ \sin(\frac{y}{x}) => u'(x)x + u(x) = \frac{u(x)x}{x}+ \sin(\frac{u(x)x}{x}) => $$$$u'(x)x + u(x) = u(x)+\sin(u(x)) => u'(x)x = \sin(u(x)) =>$$ получили однородное дифференциальное уравнение первой степени с разделяемыми переменными, решим его $$ \frac{du(x)}{dx}x = \sin(u(x)) => \frac{du(x)}{\sin(u(x))} = \frac{dx}{x}$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du(x)}{\sin(u(x))} = \int \frac{dx}{x} + \ln(C)=> \quad (1)$$ найдем отдельно интеграл \( \int \frac{du(x)}{\sin(u(x))} = \) проведем следующие тригонометрические преобразования: применим формулу синуса двойного угла \( \sin(x) = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})\), а также универсальное тригонометрическое тождество \( \sin^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2}) =1\), подставляем \( = \int \frac{\sin^2(\frac{u(x)}{2}) + \cos^2(\frac{u(x)}{2})}{2\sin(\frac{u(x)}{2})\cos(\frac{u(x)}{2})}du(x) = \int \frac{\sin(\frac{u(x)}{2})}{2\cos(\frac{u(x)}{2})}du(x) + \int \frac{\cos(\frac{u(x)}{2})}{2\sin(\frac{u(x)}{2})}du(x) =\)
решаем методом замены переменной
для первого интеграла \( \cos(\frac{u(x)}{2}) = t => -\frac{\sin(\frac{u(x)}{2})}{2}du(x) = dt => \sin(\frac{u(x)}{2})du(x) = -2dt\),
для второго интеграла \( \sin(\frac{u(x)}{2}) = p => \frac{\cos(\frac{u(x)}{2})}{2}du(x) = dp => \cos(\frac{u(x)}{2})du(x) = 2dp\),
подставляем и получаем \( -\int \frac{2}{2t}dt + \int \frac{2}{2p}dp = -\ln(t) + \ln(p) =>\) применяем обратную замену \( -\ln(\cos(\frac{u(x)}{2})) + \ln(\sin(\frac{u(x)}{2}))\) подставляем в (1) $$ -\ln(\cos(\frac{u(x)}{2})) + \ln(\sin(\frac{u(x)}{2})) = \ln(x) + \ln(C) => \ln(tg(\frac{u(x)}{2})) = \ln(xC) =>$$ потенцируем обе части равенства $$tg(\frac{u(x)}{2}) = xC => u(x) = 2 arctg(xC)$$ применяем обратную замену \(y = u(x)x => y = 2x arctg(xC)\)
2. выбираем то решение дифференциального уравнения (кривую), которое проходит через заданную точку \(y(1)=\frac{\pi}{2}\).
Подставляем данную точку в решение и находим константу \(C\) $$y = 2x arctg(xC) => \frac{\pi}{2} = 2*1*arctg(1*C) =>$$$$arctg(C) = \frac{\pi}{4} => C = 1$$
3. Ответ: решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию (проходящее через заданную точку) $$y = 2x arctg(x)$$
