Решить линейные дифференциальное уравнение 1-го порядка методом Бернулли $$(1+x^2)y′-2xy=(1+x^2)^2$$

Решим дифференциальное уравнение:  $(1+x^2)y′-2xy=(1+x^2)^2  \quad (1)$
Решение: решение дифференциального уравнения будем искать методом Бернулли:
План-схема решения дифференциального уравнения методом Бернулли
1. вводим замену $y = u(x)v(x)$, где $u(x),v(x)$ - дифференцируемые по $x$ функции
2. находим производную $y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
3. подставляем полученные выражения $y,y'$ - в дифференциальное уравнение (1)

$$(1+x^2)(u'(x)v(x) + u(x)v'(x))-2xu(x)v(x)=(1+x^2)^2 =>$$ группируем члены путем выноса за скобки $u(x)$ и $v(x)$ $$u'(x)v(x) + u(x)v'(x) + u'(x)v(x)x^2 + u(x)v'(x)x^2 - 2xu(x)v(x) = (1+x^2)^2 =>$$ $$v(x)[u'(x) + u'(x)x^2 - 2xu(x) ]+u(x)[v'(x) +v'(x)x^2 ] = (1+x^2)^2 \quad (2)$$
4. решаем любое однородное дифференциальное уравнение в скобках и находим неизвестную функцию $u(x)$ или $v(x)$, например возьмем $$u'(x) + u'(x)x^2 - 2xu(x) = 0 => u'(x) (1 + x^2) = 2xu(x)$$ получили однородное линейное дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными, решим его $$\frac{du(x)}{dx} (1 + x^2) = 2xu(x) =>\frac{du(x)}{u(x)} = \frac{2x}{1+x^2}dx$$ интегрируем обе части равенства $$\int \frac{du(x)}{u(x)} = \int \frac{2x}{1+x^2}dx +C \quad (3)$$ интеграл  $\int \frac{2x}{1+x^2}dx =$ находим методом замены переменной, введем замену $1+x^2 = t^2 => xdx = tdt$, подставляем $\int \frac{2t}{t^2}dt  = 2\int \frac{1}{t}dt = 2\ln(t) =$ применяем обратную замену $= \ln(t^2) = \ln(1+x^2)$, подставляем в (3), при этом в качестве $u(x)$ будем брать любое не нулевое решение уравнения при котором постоянная $C = 0$, получаем $$\ln|u(x)| = \ln|1+x^2| =>$$ потенцируем обе части равенства $$u(x) = 1+x^2$$
5. подставляем полученное решение в (2), при этом учитываем, что выражение в скобках согласно п.4 равно 0
$$v(x)[0 ]+(1+x^2)[v'(x) +v'(x)x^2 ] = (1+x^2)^2 => (1+x^2)[v'(x) +v'(x)x^2 ] = (1+x^2)^2 =>$$ $$v'(x)[1 + x^2 ] = (1+x^2) => v'(x)= 1 => v(x) = x + C$$ нужно отметить, что обе части равенства были разделены на $1+x^2$, т.к. этот многочлен $1+x^2 \ne 0$ при всех $x$, то дифференциальное уравнение не имеет особых решений.
6. находим окончательное решение
$$y = u(x)v(x) => y = (1+x^2)(x+C) => y = x + x^3 + (x+x^2)C$$
Ответ: решением дифференциального уравнения$(1+x^2)y′-2xy=(1+x^2)^2$ является $y = x + x^3 + (x+x^2)C$