Решим дифференциальное уравнение: \( (1+x^2)y′-2xy=(1+x^2)^2 \quad (1)\)
Решение: решение дифференциального уравнения будем искать методом Бернулли:
План-схема решения дифференциального уравнения методом Бернулли
1. вводим замену \( y = u(x)v(x)\), где \(u(x),v(x)\) - дифференцируемые по \(x\) функции
2. находим производную \( y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
3. подставляем полученные выражения \(y,y'\) - в дифференциальное уравнение (1) $$ (1+x^2)(u'(x)v(x) + u(x)v'(x))-2xu(x)v(x)=(1+x^2)^2 =>$$ группируем члены путем выноса за скобки \(u(x)\) и \(v(x)\) $$u'(x)v(x) + u(x)v'(x) + u'(x)v(x)x^2 + u(x)v'(x)x^2 - 2xu(x)v(x) = (1+x^2)^2 => $$$$v(x)[u'(x) + u'(x)x^2 - 2xu(x) ]+u(x)[v'(x) +v'(x)x^2 ] = (1+x^2)^2 \quad (2)$$
4. решаем любое однородное дифференциальное уравнение в скобках и находим неизвестную функцию \(u(x)\) или \(v(x)\), например возьмем $$u'(x) + u'(x)x^2 - 2xu(x) = 0 => u'(x) (1 + x^2) = 2xu(x)$$ получили однородное линейное дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными, решим его $$\frac{du(x)}{dx} (1 + x^2) = 2xu(x) =>\frac{du(x)}{u(x)} = \frac{2x}{1+x^2}dx$$ интегрируем обе части равенства $$ \int \frac{du(x)}{u(x)} = \int \frac{2x}{1+x^2}dx +C \quad (3)$$ интеграл \( \int \frac{2x}{1+x^2}dx = \) находим методом замены переменной, введем замену \(1+x^2 = t^2 => xdx = tdt\), подставляем \( \int \frac{2t}{t^2}dt = 2\int \frac{1}{t}dt = 2\ln(t) =\) применяем обратную замену \(= \ln(t^2) = \ln(1+x^2)\), подставляем в (3), при этом в качестве \(u(x)\) будем брать любое не нулевое решение уравнения при котором постоянная \(C = 0\), получаем $$\ln|u(x)| = \ln|1+x^2| =>$$ потенцируем обе части равенства $$ u(x) = 1+x^2$$
5. подставляем полученное решение в (2), при этом учитываем, что выражение в скобках согласно п.4 равно 0
$$v(x)[0 ]+(1+x^2)[v'(x) +v'(x)x^2 ] = (1+x^2)^2 => (1+x^2)[v'(x) +v'(x)x^2 ] = (1+x^2)^2 =>$$$$v'(x)[1 + x^2 ] = (1+x^2) => v'(x)= 1 => v(x) = x + C$$нужно отметить, что обе части равенства были разделены на \(1+x^2\), т.к. этот многочлен \(1+x^2 \ne 0\) при всех \(x\), то дифференциальное уравнение не имеет особых решений.
6. находим окончательное решение
$$y = u(x)v(x) => y = (1+x^2)(x+C) => y = x + x^3 + (x+x^2)C$$
Ответ: решением дифференциального уравнения\( (1+x^2)y′-2xy=(1+x^2)^2 \) является \( y = x + x^3 + (x+x^2)C\)
